专题6 项目式学习阅读理解-【一战成名新中考】2024福建中考数学·培优册

培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 专题六　项目式学习与阅读理解 考情解读：２０２３年２３题为今年福建中考的一大亮点题目，它融合了测量问题、阅读理解、相似 证明填写依据、锐角三角函数设计等考点，践行了全国新中考的理念及２０２２年版课标中对真实 任务情景的理解．以下为同学们设置了几道阅读理解、实践探究等题目，相信会很有意思哦，同 学们快试试吧！ １．阅读材料：如图①，△ＡＢＣ的周长为 ｌ，△ＡＢＣ的内切圆⊙Ｏ的半径为 ｒ，连接 ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ， △ＡＢＣ被划分为三个小三角形，用Ｓ△ＡＢＣ表示△ＡＢＣ的面积．∵Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＯＡＢ＋Ｓ△ＯＢＣ＋Ｓ△ＯＣＡ， Ｓ△ＯＡＢ＝ １ ２ＡＢ·ｒ，Ｓ△ＯＢＣ＝ １ ２ＢＣ·ｒ，Ｓ△ＯＣＡ＝ １ ２ＣＡ·ｒ，∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ｒ＋ １ ２ＢＣ·ｒ＋ １ ２ＣＡ·ｒ＝ １ ２ｌ·ｒ（可作为三角形内切圆半径公式）． （１）理解与应用：利用公式计算边长分为５，１２，１３的三角形内切圆半径； （２）类比与推理：若四边形ＡＢＣＤ存在内切圆（与各边都相切的圆，如图②）且四边形ＡＢＣＤ 的面积为Ｓ，各边长分别为ａ，ｂ，ｃ，ｄ，试推导四边形的内切圆半径公式； （３）拓展与延伸：若一个ｎ边形（ｎ为不小于３的整数）存在内切圆，且ｎ边形的面积为Ｓ，各 边长分别为ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）． 图① 　　　 图② 第１题图 解：（１）∵以５，１２，１３为边长的三角形为直角三角形， ∴Ｓ＝１２×５×１２＝３０，周长ｌ＝５＋１２＋１３＝３０， ∵Ｓ＝１２ｌ·ｒ， ∴３０＝１２×３０ｒ， 解得ｒ＝２，即边长为５，１２，１３的三角形内切圆半径为２； （２）如解图，设内切圆圆心为Ｏ，半径为ｒ，连接ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ， ∵Ｓ＝Ｓ△ＯＡＢ＋Ｓ△ＯＢＣ＋Ｓ△ＯＣＤ＋Ｓ△ＯＤＡ＝ １ ２ａ·ｒ＋ １ ２ｂ·ｒ＋ １ ２ｃ·ｒ＋ １ ２ｄ·ｒ＝ １ ２ ａ＋ｂ＋ｃ＋( )ｄ·ｒ， ∴ｒ＝ ２Ｓａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ； （３）猜想：ｒ＝ ２Ｓａ１＋ａ２＋…＋ａｎ ． ５７ 培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 ２．（２０２３山西）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图①，在四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是边 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点，顺 次连接Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，得到的四边形ＥＦＧＨ是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 ＥＦＧＨ被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁 （Ｖａｒｉｎｇｎｏｎ，Ｐｉｅｒｔｅ１６５４－１７２２）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关 系密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正 方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图①，证明如下： 证明：如图②，连接ＡＣ，分别交ＥＨ，ＦＧ于点Ｐ，Ｑ，过点Ｄ作ＤＭ⊥ＡＣ于点Ｍ，交ＨＧ于点Ｎ． ∵Ｈ，Ｇ分别为ＡＤ，ＣＤ的中点，∴ＨＧ∥ＡＣ，ＨＧ＝１２ＡＣ（依据１）， ∴ＤＮＮＭ＝ ＤＧ ＧＣ．∵ＤＧ＝ＧＣ，∴ＤＮ＝ＮＭ＝ １ ２ＤＭ． ∵四边形ＥＦＧＨ是瓦里尼翁平行四边形，∴ＨＥ∥ＧＦ，即ＨＰ∥ＧＱ． ∵ＨＧ∥ＡＣ，即ＨＧ∥ＰＱ， ∴四边形ＨＰＱＧ是平行四边形（依据２），∴ＳＨＰＱＧ＝ＨＧ·ＭＮ＝ １ ２ＨＧ·ＤＭ． ∵Ｓ△ＡＤＣ＝ １ ２ＡＣ·ＤＭ＝ＨＧ·ＤＭ，∴ＳＨＰＱＧ＝ １ ２Ｓ△ＡＤＣ．同理，… 图① 　　　 图② 　　　 图③ 第２题图 任务：（１）填空：材料中的依据１是指： 　． 依据２是指：　两组对边分别平行的四边形是平行四边形（或平行四边形的定义）　． （２）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ＡＢＣＤ及它的瓦里尼翁平行四边形ＥＦＧＨ，使 得四边形ＥＦＧＨ为矩形；（要求同时画出四边形ＡＢＣＤ的对角线） （３）在图①中，分别连接ＡＣ，ＢＤ得到图③，请猜想瓦里尼翁平行四边形ＥＦＧＨ的周长与对角 线ＡＣ，ＢＤ长度的关系，并证明你的结论． 解：（１）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；两组对边分别平行 的四边形是平行四边形（或平行四边形的定义）； （２）（３）见详解详析Ｐ７９ ６７ 培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 ３．（２０２３甘肃）综合与实践 如图①，某人的一器官后面Ａ处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图①）．为避免 伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方 案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等