专题5 二次函数与几何图形综合题-【一战成名新中考】2024福建中考数学·培优册

培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 专题五　二次函数与几何图形综合题（必考） 考情解读：二次函数是福建中考每年必考内容．其中与交点有关的问题考查了２次，与最值有 关的问题考查了１次，与线段、面积有关的问题考查了５次．以下设置了５个设问突破：①与对 称轴有关的问题、②与交点有关的问题、③与最值有关的问题、④与线段、面积有关的问题、⑤ 与角度有关的问题，先从每个设问角度以一题多设问的形式单点练习，最后再针对练习，希望 能帮到同学们，快来试试吧！ 设问突破１　与对称轴有关的计算 例１　已知抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ． （１）若抛物线经过点Ａ（－２，ｔ），Ｂ（４，ｔ），求ｂ的值； 解：∵抛物线经过点Ａ（－２，ｔ），Ｂ（４，ｔ），∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝－２＋４２ ＝１， ∵抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ，∴－ｂ２＝１，∴ｂ＝－２； （２）若抛物线满足：当ｘ＞－２时，ｙ随ｘ的增大而增大，当ｘ＜－２时，ｙ随ｘ的增大而减小， 求ｂ的值； 解：∵抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的开口向上，且当ｘ＞－２时，ｙ随ｘ的增大而增大，当ｘ＜－２时，ｙ随 ｘ的 增大而减小，∴抛物线对称轴为直线ｘ＝－２，∴－ｂ２＝－２，∴ｂ＝４； （３）若抛物线的对称轴为直线ｘ＝２，顶点Ｄ到ｘ轴的距离为２，求ｃ的值； 解：抛物线的对称轴为直线ｘ＝２，∴－ｂ２＝２，∴ｂ＝－４， ∴抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２－４ｘ＋ｃ，化为顶点式为ｙ＝（ｘ－２）２＋ｃ－４， ∵顶点Ｄ到ｘ轴的距离为２，∴ｙＤ＝±２． ∴ｃ－４＝±２，∴ｃ＝６或ｃ＝２，即ｃ的值为６或２； （４）若点Ｅ（ｘ１，ｙ１），Ｆ（ｘ２，ｙ２）是抛物线上的点，且位于对称轴两侧，在－３＜ｘ１＜－２，－１＜ ｘ２＜０范围内ｙ１＞ｙ２恒成立，求抛物线的对称轴； 解：∵抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵在－３＜ｘ１＜－２，－１＜ｘ２＜０范围内ｙ１＞ｙ２恒成立，∴点Ｅ在对称轴左侧，点Ｆ在对称轴右侧，∴对 称轴为直线ｘ＝－１； （５）若ｃ＝３２ｂ，当－ｂ－１≤ｘ≤－ｂ＋１时，抛物线最低点的纵坐标为－５，求ｂ的值． 解：∵ｃ＝３２ｂ，∴ｙ＝ｘ ２＋ｂｘ＋３２ｂ，抛物线的对称轴为直线ｘ＝－ ｂ ２． 分三种情况讨论：①当－ｂ２＜－ｂ－１，即 ｂ＜－２时，在 －ｂ－１≤ｘ≤ －ｂ＋１范围内 ｙ随 ｘ的增大而增 大，∴（－ｂ－１）２＋ｂ（－ｂ－１）＋３２ｂ＝－５，解得ｂ＝－ １２ ５； ②当－ｂ－１≤－ｂ２≤－ｂ＋１，即－２≤ｂ≤２时，当ｘ＝－ ｂ ２时，ｙ取得最小值， ∴（－ｂ２） ２＋（－ｂ２）ｂ＋ ３ ２ｂ＝－５，解得ｂ＝３±槡２９（不合题意，舍去）； ③当－ｂ２＞－ｂ＋１，即ｂ＞２时，在－ｂ－１≤ｘ≤－ｂ＋１范围内ｙ随ｘ的增大而减小， ∴（－ｂ＋１）２＋ｂ（－ｂ＋１）＋３２ｂ＝－５，解得ｂ＝－１２（舍去）， 综上所述，ｂ的值为－１２５． ０６ 书 培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 设问突破２　与交点有关的计算 例２　（１）已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３（ａ≠０），若抛物线与ｘ轴交于点Ａ（１，０）和Ｂ（－３，０），求 抛物线的解析式； （２）已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋３（ａ≠０）与直线ｙ＝１仅有一个交点，求ａ的值； （３）已知抛物线ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３与直线ｙ＝ｍ交于Ｍ，Ｎ两点（点Ｍ在点Ｎ左侧），若直线 ｙ＝ｍ与ｙ轴交于点Ｃ，且ＭＣＮＣ＝２，求ｍ的值； （４）若抛物线ｙ＝ｘ２－２ａｘ＋ｎ的顶点在直线ｙ＝ｘ－６上，且抛物线与ｘ轴正半轴始终有交 点，求ａ的取值范围； （５）已知抛物线ｙ＝ａｘ２－３ａｘ＋１（ａ≠０）和点Ｐ（０，２），Ｑ（ａ＋１，１），若线段ＰＱ与抛物线恰 有一个公共点，结合函数图象求ａ的取值范围． １６ 培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 设问突破３　与最值有关的计算 例３　已知二次函数ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ｂ、ｃ为常数）的图象经过点Ｄ（－２，４）． （１）当ｂ＝２时，求二次函数的最小值； （２）当－１≤ｘ≤１时，二次函数有最小值２ｂ，求ｂ的值； （３）若二次函数ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与直线ｙ＝ｋｘ－３２交于点Ａ（－１，－１），点Ｐ是直线下 方抛物线上的点，过点Ｐ作ＰＭ∥ｘ轴交直线于点Ｍ，作ＰＮ∥ｙ轴交直线于点Ｎ，记ｄ＝ ＰＭ＋ＰＮ，设点Ｐ的横坐标为ｍ，求ｄ关于ｍ的函数关系式及最大值． 解：∵二次函数ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与直线ｙ＝ｋｘ－３２交于点Ａ（－１，－１）， ∴易求得二次函数的解析式为ｙ＝ｘ２－２ｘ－４，直线的解析式为ｙ＝－１２ｘ－ ３ ２， 令ｘ２－２ｘ－４＝－１２ｘ－ ３ ２，解得ｘ１＝－１，ｘ２＝ ５ ２． ∵点Ｐ在直线下方，∴－１＜ｍ＜５２， 由题可得点Ｐ的坐标为（ｍ，ｍ２－２ｍ－４）， 则点Ｎ的坐标为（ｍ，－１２ｍ－ ３ ２），点Ｍ的坐标为（－２ｍ