专题4 几何图形综合探究-【一战成名新中考】2024福建中考数学·培优册

培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 专题四　几何图形综合探究（必考） 考情解读：几何图形综合探究是福建中考每年必考内容．其中旋转考查了５次，平移考查了２ 次，折叠与对称考查了１次，动点问题考查了１次，针对本专题，我们也是以大题小练的方式将 复杂问题简单化，同学们快试试吧！ 类 型 一　与旋转有关的证明与计算 １．如图，将正方形ＡＢＣＤ绕点Ｂ逆时针旋转３０°得到正方形ＧＢＥＦ，ＥＦ与ＡＤ相交于点Ｈ，连接 第１题图 ＢＨ，若ＥＨ＝３，求ＢＨ的长． 解：在正方形ＡＢＣＤ和正方形ＧＢＥＦ中，∠Ａ＝∠Ｅ＝∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ，ＧＢ＝ＢＥ， 根据旋转的性质可知，ＡＢ＝ＢＧ＝ＢＥ，∠ＥＢＣ＝３０°， ∵ＢＨ＝ＢＨ，∴Ｒｔ△ＨＡＢ≌Ｒｔ△ＨＥＢ（ＨＬ），∴ＡＨ＝ＨＥ＝３，∠ＡＢＨ＝∠ＥＢＨ， ∵∠ＥＢＣ＝３０°，∴∠ＡＢＥ＝６０°，∴∠ＡＢＨ＝∠ＥＢＨ＝３０°， 在Ｒｔ△ＨＥＢ中，∠ＥＢＨ＝３０°，ＨＥ＝３，∴ＢＨ＝２ＨＥ＝６． ２．如图，将Ｒｔ△ＡＢＣ绕点 Ｂ顺时针旋转 θ，使点 Ｃ落在斜边 ＡＢ上的点 Ｄ处，连接 ＥＡ，已知 第２题图 ∠ＢＡＣ＝５２°．求旋转角的度数和∠ＡＥＤ的度数． 解：∵将Ｒｔ△ＡＢＣ绕点Ｂ顺时针旋转，使点Ｃ落在斜边ＡＢ上的点Ｄ处， ∴∠ＢＤＥ＝∠Ｃ＝９０°，∠ＢＡＣ＝∠ＤＥＢ＝５２°，ＡＢ＝ＥＢ， ∴θ＝∠ＡＢＥ＝９０°－∠ＤＥＢ＝３８°； ∴∠ＢＡＥ＝∠ＢＥＡ＝（１８０°－∠ＡＢＥ）÷２＝７１°， ∴∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＡ－∠ＤＥＢ＝７１°－５２°＝１９°． ３．（２０２３北京朝阳区二模）在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ在ＢＣ边上（不与点Ｂ，Ｃ重 合），将线段ＡＤ绕点Ａ顺时针旋转９０°，得到线段ＡＥ，连接ＤＥ． （１）根据题意补全图形，并证明：∠ＥＡＣ＝∠ＡＤＣ； （２）过点Ｃ作ＡＢ的平行线，交ＤＥ于点Ｆ，用等式表示线段ＥＦ与ＦＤ之间的数量关系，并证明． 第３题图 解：（１）作图如解图所示； 证明：∵∠ＥＡＤ＝∠ＡＣＤ＝９０°， ∴∠ＥＡＣ＋∠ＣＡＤ＝∠ＣＡＤ＋∠ＡＤＣ＝９０°，∴∠ＥＡＣ＝∠ＡＤＣ； （２）结论：ＥＦ＝ＦＤ．证明：如解图，连接ＡＦ． ∵ＡＣ＝ＣＢ，∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠ＡＢＣ＝∠ＣＡＢ＝４５°， ∵ＣＦ∥ＡＢ，∴∠ＡＣＦ＝∠ＣＡＢ＝４５°， ∵ＡＥ＝ＡＤ，∠ＥＡＤ＝９０°，∴∠ＡＤＥ＝∠ＡＣＦ＝４５°， ∴Ａ，Ｆ，Ｃ，Ｄ四点共圆，∴∠ＡＦＤ＝∠ＡＣＤ＝９０°，∴ＡＦ⊥ＤＥ， ∵ＡＥ＝ＡＤ，∴ＥＦ＝ＦＤ． ２５ 培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 ４．如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为５，点Ｅ为正方形ＣＤ边上一动点，过点Ｂ作ＢＰ⊥ＡＥ于点Ｐ，将 ＡＰ绕点Ａ逆时针旋转９０°得ＡＰ′，连接Ｐ′Ｄ． 第４题图 （１）证明：ＰＢ＝Ｐ′Ｄ； （２）延长ＢＰ交Ｐ′Ｄ于点Ｆ．判断四边形ＡＰ′ＦＰ的形状，并说明理由； （３）若ＤＦ＝１，求线段ＡＰ的长度． （１）证明：由题意和旋转的性质可得，ＡＰ＝ＡＰ′，∠ＰＡＰ′＝９０°， ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝９０°， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＰＡＰ′＝９０°， ∴∠ＢＡＤ－∠ＤＡＰ＝∠ＰＡＰ′－∠ＤＡＰ，即∠ＢＡＰ＝∠ＤＡＰ′， ∵ＡＰ＝ＡＰ′，∠ＢＡＰ＝∠ＤＡＰ′，ＡＢ＝ＡＤ， ∴△ＡＢＰ≌△ＡＤＰ′（ＳＡＳ），∴ＰＢ＝Ｐ′Ｄ； （２）解：四边形ＡＰ′ＦＰ是正方形，理由如下：由（１）得△ＡＢＰ≌△ＡＤＰ′，且ＢＰ⊥ＡＥ， ∴∠ＡＰＦ＝∠ＡＰＢ＝∠ＡＰ′Ｄ＝９０°， ∴∠ＰＡＰ′＝∠ＡＰＦ＝∠ＡＰ′Ｄ＝９０°，∴四边形ＡＰ′ＦＰ是矩形， ∵ＡＰ＝ＡＰ′，∴四边形ＡＰ′ＦＰ是正方形； ５．综合与实践 问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动． 阳光小组准备了两张矩形纸片ＡＢＣＤ和ＥＦＧＨ，其中ＡＢ＝６，ＡＤ＝８，将它们按如图①所示的 方式放置，当点Ａ与点Ｅ重合，点Ｆ，Ｈ分别落在ＡＢ，ＡＤ边上时，点Ｆ，Ｈ恰好为边ＡＢ，ＡＤ的 中点．然后将矩形纸片ＥＦＧＨ绕点Ａ按逆时针方向旋转，旋转角为α，连接ＢＦ与ＤＨ． 观察发现：（１）如图②，当α＝９０°时，小组成员发现ＢＦ与ＤＨ存在一定的关系，其数量关系 是　　　　；位置关系是　　　　． 探索猜想：（２）如图③，当９０°＜α＜１８０°时，（１）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 拓展延伸：（３）在矩形ＥＦＧＨ旋转过程中，当Ｃ，Ａ，Ｆ三点共线时，请直接写出线段ＤＨ的长． 图① 　　　 图② 　　　 图③ 第５题图 答案见详解详析Ｐ ３５ 培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 类 型 二　与平移有关的证明与计算 ６．（２０２２福建１０题改编）如图，现有一把直尺和一个三角形ＡＢＣ，其中∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＣ＝８，ＡＣ ＝１０，点Ａ对应直尺的刻度为１２．将三角形ＡＢＣ沿直尺边