期中冲刺（知识梳理＋考点突破＋重难点解析＋易错点辨析＋考点分层精练 ） 2026—2027学年人教版八年级数学上册

八年级上册数学期中冲刺讲义 （知识梳理＋考点突破＋重难点解析＋易错点辨析＋考点分层精练＋参考答案与解析） 人教版（2024）2026—2027学年八年级数学上册 一、讲义使用说明 本讲义按“知识系统化＋记忆高效化＋解题技巧化”三位一体设计，覆盖人教版八年级上册第13～15章期中必考点，包含六大模块：知识梳理、考点突破、重难点解析、易错点辨析、考点分层精练、参考答案与解析。建议按以下三步使用： ①先读“知识梳理”搭建知识框架，用对比表串起零散概念，再填细节； ②逐考点学习“解题技巧＋典型例题”，先独立思考再看解析，学完一类题； ③用“考点分层精练”限时检测，基础层重过关、提升层重应用、拓展层重迁移，错题回到对应考点重看例题。 二、课标导航与考情速览 【考情速览】结合各校八上期中命题实际，本次考试呈现四个特点：① 概念与图形并重：三角形的边、内角和、全等概念与简单计算约占全卷五成，重在基础；② 全等证明是核心：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 的判定选择与规范书写是解答题主阵地；③ 轴对称与等腰综合：等腰三角形“三线合一”、等边三角形性质与角度转化是难点热点；④ 尺规作图与坐标对称：垂直平分线、角平分线的尺规作图与关于坐标轴对称的点的坐标经常出现。 章节 内容要求 学业要求 第13章 三角形 理解三角形及其内角、外角，掌握三边关系和内角和定理，认识高、中线、角平分线，了解三角形的稳定性。 会用三边关系判断能否组成三角形，会求角的大小，能解决简单的实际情境问题。 第14章 全等三角形 理解全等三角形的概念，掌握基本事实 SSS、SAS、ASA 与定理 AAS、HL，理解角平分线的性质与判定。 会证明三角形全等并利用性质求边、角，会作一个角的平分线，能解决尺规作图问题。 第15章 轴对称 理解轴对称与轴对称图形，掌握线段垂直平分线的性质与判定，探索并掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定。 会画轴对称图形，会用坐标表示轴对称，会证明与等腰、等边相关的简单结论，能解决最短路径问题。 三、知识梳理 本模块按第13～15章搭建知识框架，用对比梳理把零散概念串成体系，复习时先看框架再填细节。 （一）第13章　三角形 1. 三角形的边与三边关系 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【提示】判断三条线段能否组成三角形，只需看“较短两边之和是否大于最长边”。 2. 三角形的高、中线与角平分线 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段。角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。 【提示】三角形三条高（或延长线）、三条中线、三条角平分线分别交于一点；中线将三角形分成面积相等的两部分。 3. 三角形的稳定性：三角形三边的长度确定后，三角形的形状、大小就固定不变。 4. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 5. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 6. 多边形及其内角和：n 边形的内角和等于（n−2）×180°，多边形的外角和等于360°。 （二）第14章　全等三角形 1. 全等形与全等三角形：能够完全重合的两个图形是全等形；能够完全重合的两个三角形是全等三角形。全等三角形的对应边相等、对应角相等。 2. 全等三角形的判定 ①SSS：三边分别相等的两个三角形全等；②SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；③ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；④AAS：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等；⑤HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 【提示】“SSA”与“AAA”不能判定三角形全等；证明时公共边、公共角、对顶角是常用隐含条件。 3. 角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等（性质）；角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上（判定）。 （三）第15章　轴对称 1. 轴对称图形与轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形是轴对称图形；两个图形沿一条直线折叠能够互相重合，叫做关于这条直线成轴对称。 2. 线段的垂直平分线：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（性质）；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（判定）。 3. 等腰三角形：性质——等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。判定——等角对等边。 4. 等边三角形：三条边都相等，三个内角都等于60°；判定——三边都相等，或三个角都相等，或有一个角是60°的等腰三角形。 5. 最短路径：两点之间线段最短；将军饮马模型——作对称点，连接线段，与“河”的交点即为所求。 四、考点突破 本模块按期中高频考点逐点突破，每个考点先给解题技巧，再配一道典型例题，学完即会用。 （一）考点1　三角形三边关系 【解题技巧】判断三条线段能否组成三角形：看较短两边之和是否大于第三边；已知两边求第三边的取值范围：两边之差＜第三边＜两边之和。 典型例题1　下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，2，4 【解析】A 中 1+2=3，不大于 3，不能；B 中 1+2=3＜4，不能；C 中 2+3=5＞4，能；D 中 2+2=4，不大于 4，不能。故选 C。判断时只需检验较短两边之和与最长边的大小即可。 【知识点睛】“任意两边之和大于第三边”等价于“较短两边之和大于最长边”，比一组即可，不必逐一比较。 （二）考点2　三角形内角和与外角 【解题技巧】已知两角求第三角，用内角和定理 180°；求外角，用“外角等于与它不相邻的两个内角之和”；出现角平分线时，先求出被平分的角。 典型例题2　如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，若∠BAC =115°，∠B =35°，则∠CDA 的度数为　 　°. 【解析】在△ABC 中，∠ACB=180°−115°−35°=30°；CD 平分∠ACB，∠ACD=15°；在△ACD 中，∠CDA=180°−15°−115°=50°。 【知识点睛】角平分线＋内角和组合题：先在原三角形中求出被平分角，再在半角所在的小三角形中求目标角。 （三）考点3　三角形的重要线段 【解题技巧】中线平分对边，也平分面积（等底同高）；高是垂线段，用于求距离；角平分线平分内角。 典型例题3　如图，已知中，点D，E分别是边的中点，若的面积等于12，则的面积等于（　　）． A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】E 为 AC 的中点，S△ABE=S△ABC=6；D 为 AB 的中点，S△BDE=S△ABE=3。故△BDE 的面积为 3。 【知识点睛】中线把三角形分成面积相等的两部分，逐层“减半”是这类题的通用思路。 （四）考点4　全等三角形的判定与性质 【解题技巧】证全等先圈出目标边、角，确定它们分别在哪些三角形中；再找三组对应相等关系（已知、公共边、公共角、对顶角等隐含条件）；最后按 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 比对选择判定方法。 典型例题4　如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是(　　) A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【解析】纸板遮挡后露出的部分是两角及其夹边，对应相等，依据 ASA 可画出与此直角三角形全等的三角形。故选 C。 【知识点睛】判定口诀：三边 SSS，边角边 SAS，角边角 ASA，角角边 AAS，直角斜边直角边 HL；“SSA”与“AAA”都不能判定全等。 （五）考点5　角平分线的性质与判定 【解题技巧】性质用于求距离：“角平分线上的点到角两边的距离相等”；判定用于证平分：“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”。 典型例题5　如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，∠A=72°，∠DBC=29°，求∠C，∠ADB的度数. 【解析】BD 平分∠ABC，∠DBC=29°，∠ABC=2×29°=58°；△ABC 中，∠C=180°−72°−58°=50°；∠ADB 是△BDC 的外角，∠ADB=∠DBC+∠C=29°+50°=79°。 【知识点睛】角平分线给出“半角”，立即“加倍”还原整个角；外角等于不相邻两内角之和要熟练运用。 （六）考点6　线段的垂直平分线 【解题技巧】垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可把未知线段“搬”到已知线段上，实现周长代换。 典型例题6　如图是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，．则的周长是　 　． 【解析】DE 是 AB 的垂直平分线，所以 EA=EB；△BEC 的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=8+5=13。 【知识点睛】遇垂直平分线，优先利用“点到两端点距离相等”转化线段，再通过和差关系求周长。 （七）考点7　等腰三角形与等边三角形 【解题技巧】等腰三角形“等边对等角、等角对等边”；顶角=180°−2×底角；等边三角形三边相等、三个内角都等于60°。 典型例题7　如图，△ABD 是等边三角形，以BD为边在边 BD 的左侧作△CBD，且BC=BD，连接AC，若∠BAC=20°，则∠CBD的度数为(　　) A．70° B．90° C．60° D．80° 【解析】△ABD 是等边三角形，AB=BD，∠ABD=60°；又 BC=BD，所以 AB=BC，△ABC 是等腰三角形；∠BAC=20°，∠BCA=20°，∠ABC=180°−40°=140°；∠CBD=∠ABC−∠ABD=140°−60°=80°。故选 D。 【知识点睛】等边三角形提供“相等线段＋60°角”，常与等腰三角形组合实现边、角的转化。 （八）考点8　轴对称与坐标 【解题技巧】关于 x 轴对称：横坐标不变、纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称：纵坐标不变、横坐标互为相反数；y 轴上的点横坐标为 0。 典型例题8　在平面直角坐标系中，若点M(a-2，a)在y轴上，则点M关于x轴的对称点的坐标为　 　. 【解析】点 M(a−2，a) 在 y 轴上，横坐标 a−2=0，a=2，M(0，2)；关于 x 轴对称，横坐标不变、纵坐标互为相反数，对称点为 (0，−2)。 【知识点睛】“关于谁对称谁不变”：x 轴对称横不变，y 轴对称纵不变，原点对称横纵全变号。 五、重难点解析 （一）重点1　全等证明的突破口 【讲透】证明线段相等或角相等，通常通过证明它们所在的两个三角形全等来实现。关键有三：选对判定方法、找全三个条件、规范书写。 【典型设问】证明两条线段相等，应从何处入手？ 【思路】①在图中圈出目标线段，确定它们分别在哪个三角形中；②找三组相等关系——已知条件、公共边、公共角、对顶角、垂直、中点等隐含条件；③按 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 比对选择判定方法；④按“条件→判定→结论”的格式规范书写。 【变式】证角相等同理：先找角所在的两个三角形，证全等后由对应角相等得结论。 （二）重点2　等腰三角形与等边三角形的综合计算 【讲透】等腰三角形“等边对等角”是角度转化的核心工具；等边三角形提供三组相等线段和 60° 角；当“腰或底”不明确时必须分类讨论。 【典型设问】已知等腰三角形一边长与周长，如何求腰长？ 【思路】分“已知边为腰”和“已知边为底”两类讨论，求出各边长后必须检验是否满足三角形三边关系，舍去不能构成三角形的组。 【变式】角度计算中，设底角为 x，利用内角和建立方程，往往比直接推导更稳妥。 （三）重点3　轴对称与图形变换中的角度、线段 【讲透】翻折（轴对称）前后对应线段相等、对应角相等；对称轴是垂直平分线；利用对称可以把分散的线段集中到一条折线上，这就是将军饮马问题的本质。 【典型设问】图形折叠后求角度或线段长，如何下手？ 【思路】先标出折叠前后的对应元素（重合的线段、角），再借助三角形内角和、全等关系或垂直平分线性质求目标量。 【变式】“两点一线”最短路径：作其中一个点的对称点，连接对称点与另一个点，与“河”的交点即为所求。 六、易错点辨析 易错点1　三边关系漏用“两边之差” 判断能否组成三角形，常只验证“两边之和大于第三边”，忽略“两边之差小于第三边”。两者等价，验证时看“较短两边之和＞最长边”即可；但在已知两边求第三边取值范围时，两端都要考虑：两边之差＜第三边＜两边之和。 易错点2　全等判定误用“SSA” 两边及其中一边的对角分别相等（SSA）不能判定两个三角形全等，“AAA”同样不能。必须满足 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五个判定之一。 易错点3　等腰三角形分类讨论遗漏 等腰三角形未指明腰与底时，必须分“已知边为腰”“已知边为底”两类讨论；求出边长后还要检验三边关系，防止出现“2、2、4”这类不能构成三角形的错误。 易错点4　角平分线性质与判定条件混淆 性质：点在角平分线上→点到角两边的距离相等；判定：角的内部到角两边距离相等的点→在角平分线上。注意“距离”是垂线段的长，必须存在垂直条件。 【学习主张】拒绝死记硬背：全等判定、等腰性质先画图理解“为什么”，再配口诀记忆；错题重做一遍胜过背十遍结论。 【记忆口诀】判断三角短边长，两短之和比长边；内角之和一百八，外角等于两内和；三边相等 SSS，边角边 SAS，角边角 ASA，角角边 AAS，直角斜边直角边 HL；等边对等角，等角对等边，三线合一记心间；x 轴对称横不变，y 轴对称纵不变。 七、考点分层精练 按考点分层编排，基础层重过关、提升层重应用、拓展层重迁移；建议基础层20分钟、提升层15分钟、拓展层12分钟。 （一）基础层（第1～10题，覆盖三角形基础概念与全等、轴对称初步） 1．A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点 2．现用三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长分别是5cm和8cm，则第三根木棒的长可能是(　　) A．15 cm B．9 cm C．3cm D．2cm 3．下列图形是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角的度数为(　　) A．20° B．50° C．70° D．90° 5．如图，木工师傅做门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不易变形，这种做法的依据是（　　） A．三角形稳定性 B．长方形是轴对称图形 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 6．小明用长度分别为3，a，7的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a的值可能是（　　） A．4 B．6 C．10 D．12 7．如图，在中，边上的高是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 8．在△ABC中，∠A=22°，∠C=90°，则∠B的度数是(　　) A．48° B．58° C．68° D．78° 9．若等腰三角形的两边长分别是2和4，则它周长是（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．9或10 10．如图，用尺规作出了，其作图依据是（　　） A． B． C． D． （二）提升层（第11～16题，覆盖全等证明、角平分线与等腰综合） 11．如图，D为△ABC 内一点，连接CD，且CD平分∠ACB，连接BD，BD⊥CD，延长BD交AC 于点 E，若∠A=∠ABE，BD=1，BC=3，则AC的长为(　　) A．4 B． C．5 D．7 12．如图所示，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 13．如图，在△ABC中，D、E为边AC上两点，连接BD、BE，DF⊥BE于点 F，若∠A=90°，AD=DF，∠DBF=25°，则∠BEC 的度数为(　　) A．115° B．140° C．125° D．120° 14．如图，AD 是△ABC的中线，AB>AC，AB=10，△ABD与△ADC 的周长之差为2，则AC的长为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，AD=DE，若∠C=70°，则∠AED 的度数为(　　) A．40° B．45° C．50° D．55° 16．如图，若△OAD≌△OBC，AD 交BC于点E，∠O=65°，∠D=20°，则∠DBC 的度数为(　　) A．75° B．85° C．60° D．55° （三）拓展层（第17～20题，综合迁移与几何证明） 17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D 在边AC上，连接BD，点F 为△ABC外部一点，连接BF，CF，若△BDA≌△BFC，∠BFC=100°，则∠ABD 的度数为　 　°. 18．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，连接AD，若∠1=∠2，BC=10，BD=7，求点D到AB的距离. 19．如图，在△ABC中，AD 是高，AE、BF 是角平分线，并相交于点 O，若∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE 和∠BOA 的度数. 20．如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在边 BC上，连接DE交AC于点F，∠C=∠D. （1）求证：∠DAC=∠CED； （2）若∠AFD=60°，∠DFC=3∠B，求∠C的度数. 八、参考答案与解析 1．【答案】A 【解析】凳子到三名同学的距离相等游戏才公平，即到三角形三个顶点距离相等，这样的点是三角形三边垂直平分线的交点。 2．【答案】B 【解析】设第三根木棒的长为 x cm，由三边关系得 8−5＜x＜8+5，即 3＜x＜13，选项中只有 9 符合。 3．【答案】D 【解析】选项 D 沿某条直线折叠后，直线两侧能够完全重合，是轴对称图形；A、B、C 均不是。 4．【答案】C 【解析】直角三角形两锐角互余，另一个锐角=90°−20°=70°。 5．【答案】A 【解析】木条 EF 与门框的边构成三角形，利用三角形的稳定性使门框不易变形。 6．【答案】B 【解析】由三边关系 7−3＜a＜7+3，即 4＜a＜10，选项中只有 6 符合。 7．【答案】A 【解析】在△ADC 中，DC 边上的高是从顶点 A 向 DC 所在直线作的垂线段，由图可知垂线段为 AB。 8．【答案】C 【解析】∠B=180°−90°−22°=68°。 9．【答案】B 【解析】腰长为 2 时，2+2=4 不大于 4，不能构成三角形，舍去；腰长为 4 时能构成三角形，周长=4+4+2=10。 10．【答案】A 【解析】由作法可知 OM=OD=CB=CN，MD=NB，三边对应相等，依据 SSS 作出与已知角相等的角。 11．【答案】C 【解析】∠A=∠ABE，等角对等边得 AE=BE；CD 平分∠ACB 且 BD⊥CD，可证△EDC≌△BDC（ASA），得 DE=BD=1，EC=BC=3；BE=DE+BD=2，AE=2；AC=AE+EC=2+3=5。 12．【答案】C 【解析】AE 平分∠BAC，∠BAC=120°，∠CAE=60°；AD⊥BC，∠C=40°，∠DAC=90°−40°=50°；∠DAE=∠CAE−∠CAD=60°−50°=10°。 13．【答案】B 【解析】∠A=90°，DA⊥AB；又 DF⊥BE 且 AD=DF，由角平分线的判定得 BD 平分∠ABE，∠ABE=2×25°=50°；Rt△ABE 中，∠AEB=90°−50°=40°；∠BEC 与∠AEB 互补，∠BEC=180°−40°=140°。 14．【答案】C 【解析】AD 是中线，BD=CD；△ABD 与△ADC 的周长差=(AB+AD+BD)−(AC+AD+CD)=AB−AC=2；AB=10，AC=10−2=8。 15．【答案】A 【解析】AB=AC，∠B=∠C=70°，∠A=180°−70°−70°=40°；AD=DE，等边对等角，∠AED=∠A=40°。 16．【答案】B 【解析】△OAD≌△OBC，对应角相等，∠OAD=∠OBC；∠CAE 是△OAD 的外角，∠CAE=∠O+∠D=65°+20°=85°；∠DBC 与∠OBC 互补，∠CAE 与∠OAD 互补，等角的补角相等，∠DBC=∠CAE=85°。 17．【答案】35 【解析】△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC，是等腰直角三角形，∠A=45°；△BDA≌△BFC，对应角相等，∠BDA=∠BFC=100°；△ABD 中，∠ABD=180°−45°−100°=35°。 18．【答案】解：点 D 到 AB 的距离为 3。 【解析】CD=BC−BD=10−7=3；∠1=∠2，AD 平分∠BAC，点 D 在角平分线上，到角两边的距离相等；又∠C=90°，点 D 到 AC 的距离为 CD=3，所以点 D 到 AB 的距离为 3。 19．【答案】解：∠DAE=5°，∠BOA=120°。 【解析】∠ABC=180°−50°−60°=70°；AD 是高，∠ADC=90°，∠DAC=180°−90°−60°=30°；AE 平分∠BAC，∠EAF=25°；BF 平分∠ABC，∠CBF=35°；∠DAE=∠DAC−∠EAF=30°−25°=5°；∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°；∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°。 20．【答案】解：（1）∠DAC=∠CED；（2）∠C=40°。 【解析】（1）∠DAC 是△ABC 的外角，∠DAC=∠B+∠C；∠CED 是△BDE 的外角，∠CED=∠B+∠D；又∠C=∠D，所以∠DAC=∠CED。（2）∠DFC=180°−∠AFD=180°−60°=120°，∠DFC=3∠B，∠B=40°；∠CAD=∠B+∠C，∠C=∠D，在△ADF 中 ∠B+∠C+∠C+∠AFD=180°，即 40°+2∠C+60°=180°，∠C=40°。 学科网（北京）股份有限公司 $