专题3 圆的综合题-【一战成名新中考】2024福建中考数学·培优册

培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 专题三　圆的综合题（必考） 考情解读：圆的综合题是福建中考每年必考内容．着重考查圆的基本性质和圆的位置关系，每 年失分率较高，针对本专题我们可以以大题小练的方式将复杂问题简单化，以下分了５个设问 突破和针对练习，同学们快试试吧！ 设问突破１　切线的判定 １．如图，∠ＡＯＢ＝６０°，以ＯＢ为半径的⊙Ｏ交ＯＡ于点Ｃ，且ＯＣ＝ＣＡ，求证：ＡＢ是⊙Ｏ的切线． 第１题图 证明：如解图，连接ＢＣ， ∵∠ＡＯＢ＝６０°，ＯＢ＝ＯＣ，∴△ＯＢＣ是等边三角形，∴∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝６０°，ＯＣ＝ＢＣ， ∵ＯＣ＝ＣＡ，∠ＯＣＢ＝∠ＣＡＢ＋∠ＣＢＡ＝６０°，∴ＣＢ＝ＣＡ，∴∠ＣＡＢ＝∠ＣＢＡ＝３０°， ∴∠ＯＢＡ＝∠ＯＢＣ＋∠ＣＢＡ＝９０°， ∵ＯＢ是⊙Ｏ的半径，∴ＡＢ是⊙Ｏ的切线． ２．如图，ＡＤ是⊙Ｏ的弦，ＡＢ经过圆心 Ｏ交⊙Ｏ于点 Ｃ，∠Ａ＝∠Ｂ＝３０°，连接 ＢＤ．求证：ＢＤ是 ⊙Ｏ的切线． 第２题图 证明：如解图，连接ＯＤ， ∵ＯＤ＝ＯＡ，∴∠ＯＤＡ＝∠ＤＡＢ＝３０°，∴∠ＤＯＢ＝∠ＯＤＡ＋∠ＤＡＢ＝６０°， ∴∠ＯＤＢ＝１８０°－∠ＤＯＢ－∠Ｂ＝１８０°－６０°－３０°＝９０°， 即ＯＤ⊥ＢＤ，∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径，∴ＢＤ是⊙Ｏ的切线． ３．如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，Ｃ为⊙Ｏ上一点，ＡＤ⊥ＣＤ，垂足为 Ｄ，ＡＣ平分∠ＤＡＢ．求证：ＤＣ是 ⊙Ｏ的切线． 第３题图 证明：如解图，连接ＯＣ，∵ＯＡ＝ＯＣ，∴∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ， ∵ＡＣ平分∠ＤＡＢ，∴∠ＤＡＣ＝∠ＯＡＣ， ∴∠ＤＡＣ＝∠ＯＣＡ，∴ＡＤ∥ＯＣ， ∵ＡＤ⊥ＣＤ，∴ＯＣ⊥ＣＤ，∵点Ｃ在⊙Ｏ上，∴ＣＤ是⊙Ｏ的切线． ３４ 培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 设问突破２　角度关系的证明 ４．如图，ＡＣ是⊙Ｏ的直径，直线 ＭＮ与⊙Ｏ相切于点 Ｂ，过点 Ｃ作 ＣＤ⊥ＭＮ于点 Ｄ．求证： ∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＤ． 第４题图 证明：如解图，连接ＯＢ， ∵⊙Ｏ与ＭＮ相切于点Ｂ， ∴ＯＢ⊥ＭＮ， ∵ＣＤ⊥ＭＮ于点Ｄ， ∴ＯＢ∥ＣＤ， ∴∠ＯＢＣ＝∠ＢＣＤ，∴∠ＯＢＣ＝∠ＡＣＢ， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＤ． ５．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｃ在⊙Ｏ上，ＣＤ是⊙Ｏ的切线，ＢＤ⊥ＣＤ，ＤＢ的延长线与⊙Ｏ交 于点Ｅ．求证：∠ＡＢＥ＝２∠Ａ． 第５题图 证明：连接ＯＣ，如解图， ∵ＣＤ是⊙Ｏ的切线， ∴ＯＣ⊥ＣＤ， ∵ＢＤ⊥ＣＤ， ∴ＯＣ∥ＤＥ， ∴∠ＡＢＥ＝∠ＢＯＣ， ６．（２０２２福建２１题（１）改编）如图，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＡＤ∥ＢＣ交⊙Ｏ于点Ｄ，ＤＦ∥ＡＢ交ＢＣ 于点Ｅ，交⊙Ｏ于点Ｆ，连接ＡＦ，ＣＦ．求证：∠ＡＦＣ＝∠ＡＣＦ． 第６题图 证明：∵ＡＤ∥ＢＣ，ＤＦ∥ＡＢ， ∴四边形ＡＢＥＤ为平行四边形， ∴∠Ｂ＝∠Ｄ， ∵∠ＡＦＣ＝∠Ｂ，∠ＡＣＦ＝∠Ｄ， ∴∠ＡＦＣ＝∠ＡＣＦ． ４４ 培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 设问突破３　线段数量、位置关系的证明 ７．如图，在⊙Ｏ中，ＡＢ，ＡＤ为弦，ＣＤ为直径，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｍ，ＢＮ⊥ＡＤ于Ｎ，ＢＮ与ＣＤ相交于Ｑ． 求证：ＢＱ＝ＢＣ． 第７题图 证明：∵ＣＤ⊥ＡＢ于Ｍ，ＢＮ⊥ＡＤ于Ｎ， ∴∠ＢＮＡ＝∠ＢＭＱ＝９０°． ∵∠ＡＢＮ＝∠ＱＢＭ， ∴∠ＢＱＭ＝∠Ａ． ∵ )ＢＤ＝ )ＢＤ， ∴∠Ｃ＝∠Ａ，∴∠Ｃ＝∠ＢＱＭ， ∴ＢＱ＝ＢＣ． ８．如图，ＡＢ是半圆Ｏ的直径， ) ＡＣ＝ ) ＢＣ，Ｄ是 ) ＢＣ上一点，ＣＤ＝１２ＡＢ，Ｅ是ＡＣ的中点，连接 ＯＣ， ＯＤ，ＤＥ．求证：ＤＥ∥ＡＢ． 第８题图 证明：如解图，连接ＯＥ． ∵ )ＡＣ＝ )ＢＣ， ∴∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ． ∵∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ＝１８０°， ∴∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ＝９０°． ∵Ｅ是ＡＣ的中点， ∴ＯＥ＝１２ＡＣ＝ＥＣ，∴点Ｅ在ＯＣ的垂直平分线上． ∵ＤＣ＝１２ＡＢ＝ＤＯ， ∴点Ｄ在ＯＣ的垂直平分线上， ∴∠ＯＦＥ＝∠ＢＯＣ＝９０°， ∴ＤＥ∥ＡＢ． ９．如图，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，ＡＥ是⊙Ｏ的直径，点 Ｂ是 ) ＣＥ的中点，过点 Ｂ的切线与 ＡＣ的 延长线交于点Ｄ．求证：ＢＤ⊥ＡＤ． 第９题图 证明：如解图，连接ＯＢ． ∵ＢＤ为⊙Ｏ的切线， ∴∠ＯＢＤ＝９０°． ∵点Ｂ为 )ＣＥ的中点， ∴ )ＢＣ＝ )ＢＥ， ∴∠ＣＡＢ＝∠ＢＡＥ． ∵ＯＡ＝ＯＢ， ∴∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ， ∴∠ＣＡＢ＝∠ＯＢＡ， ∴ＯＢ∥ＡＤ，∴∠Ｄ＝９０°， ∴ＢＤ⊥ＡＤ． ５４ 培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 设问突破４　求角度、线段长 １０．如图，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，点Ｄ是优弧 ) ＡＢ的中点，连接ＡＣ，若ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＣＤ＝５０°， 求∠ＡＢＣ的度数． 第１０题图 １１．如图，过圆外一点Ｐ作⊙Ｏ的切线ＰＣ，切点为Ｂ，连接ＯＰ交⊙Ｏ于点Ａ．若ＡＰ＝ＯＡ＝２，求 该切线长的值．