专题1 三点共线与三线共点问题-【一战成名新中考】2024福建中考数学·培优册

培优册·福建数学 二、福建中考培优———重难题型篇　　　 重 难 题 型 篇 专题一　三点共线与三线共点问题（７年５考） 考情解读：三点共线与三线共点问题是福建中考真题的特色之一，近７年考查了５次，其中 ２０１８年，２０１９年，２０２３年在二次函数综合题中考查，２０２０年，２０２１年在尺规作图中考查．解题 方法一般分为几何法和建系法，以下针对两个类型给出了方法点拨，同学们快试试吧！ 类 型 一　三点共线问题 方法解读 在几何中：利用邻补角定理求证 如图，要证明Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，可选择一条过点Ｂ的直线ＰＱ，并连接ＡＢ、 ＣＢ，证明∠ＡＢＰ与∠ＣＢＰ互为邻补角，即∠ＡＢＰ＋∠ＣＢＰ＝１８０°即可． 在代数中 任选两点确定一条直线，得出该直线的解析式，将第三点坐标代入，若满足该解析式，则三点共线                   ． 针对训练 １．已知点Ｅ（１，２），Ｏ（０，０），Ｆ（－１２，－１），求证：Ｅ，Ｏ，Ｆ三点共线． 证明：设直线ＥＦ的解析式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ，将Ｅ（１，２），Ｆ（－１２，－１）代入， 得 ２＝ｍ＋ｎ， －１＝－１２ｍ＋ｎ{ ，解得 ｍ＝２，ｎ＝０{ ，∴直线ＥＦ的解析式为ｙ＝２ｘ， 在ｙ＝２ｘ中，当ｘ＝０时，ｙ＝０， ∴Ｏ（０，０）在直线ＥＦ上，即Ｅ，Ｏ，Ｆ三点共线． 还有其他的方法可以证得Ｅ，Ｏ，Ｆ三点共线吗？同学们尝试一下！ 变式　若Ａ（２，２），Ｂ（１，３），Ｃ（ｍ＋２，３ｍ－１）三点共线，则ｍ的值为　　　　； ２．（多解法）（２０２２漳州期末改编）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ为 ＢＣ边上的 高，点Ｅ在ＤＡ的延长线上，连接ＢＥ，将△ＡＢＥ绕点Ｂ逆时针旋转９０°得到△ＧＢＦ，连接ＡＧ． 求证：Ｆ，Ｇ，Ａ三点在同一条直线上． 第２题图 证明：方法一：∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ，∠ＢＡＣ＝９０°， ∴∠ＢＡＤ＝１２∠ＢＡＣ＝ １ ２×９０°＝４５°， ∴∠ＢＡＥ＝１８０°－∠ＢＡＤ＝１８０°－４５°＝１３５°， 由旋转的性质可得ＢＧ＝ＡＢ，∠ＡＢＧ＝９０°，∠ＢＧＦ＝∠ＢＡＥ＝１３５°， ∴△ＡＢＧ是等腰直角三角形，∴∠ＡＧＢ＝４５°， ∴∠ＢＧＦ＋∠ＡＧＢ＝１３５°＋４５°＝１８０°，∴Ｆ，Ｇ，Ａ三点在同一条直线上． 其他方法见详解详析Ｐ ５３ 培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 ３．（多解法）（２０２３龙岩模拟改编）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠ＣＡＢ的平分线交ＢＣ于点 Ｄ，将ＢＤ绕点Ｂ顺时针旋转到ＢＥ，ＢＤ与ＢＥ在ＡＢ的同一侧，且∠ＡＢＥ＝９０°．求证：Ａ，Ｄ，Ｅ 三点在同一条直线上． 第３题图 证明：方法一：如解图，连接ＤＥ，过点Ｂ作ＢＨ⊥ＤＥ于点Ｈ，则∠ＤＢＨ＋∠ＢＤＨ＝９０°， 由旋转得ＢＤ＝ＢＥ， ∴∠ＤＢＨ＝∠ＥＢＨ＝１２∠ＤＢＥ， ∵∠Ｃ＝９０°，∴∠ＣＢＡ＋∠ＣＡＢ＝９０°， ∵∠ＡＢＥ＝９０°，∴∠ＣＢＡ＋∠ＤＢＥ＝９０°，∴∠ＣＡＢ＝∠ＤＢＥ， ∵ＡＤ平分∠ＣＡＢ，∴∠ＣＡＤ＝１２∠ＣＡＢ＝ １ ２∠ＤＢＥ＝∠ＤＢＨ， ∴∠ＣＤＡ＝∠ＢＤＨ， ∵∠ＣＤＡ＋∠ＡＤＢ＝１８０°，∴∠ＢＤＥ＋∠ＡＤＢ＝１８０°，∴∠ＡＤＥ＝１８０°， ∴Ａ，Ｄ，Ｅ三点在同一条直线上． 其他方法见详解详析Ｐ ４．（多解法）（２０２３厦门思明区校级月考改编）在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝４，点Ｍ在ＡＢ边上 且ＡＭ＝４ＢＭ，连接ＤＭ，过点Ｍ作ＭＮ⊥ＤＭ，且ＭＮ＝３２ＤＭ，连接ＤＮ．求证：Ａ，Ｃ，Ｎ三点在同 一条直线上． 第４题图 证明：方法一：如解图，过点Ｎ作ＮＦ⊥ＡＢ，交ＡＢ延长线于点Ｆ，连接ＡＣ，ＡＮ，则∠ＮＦＡ＝９０°， ∵四边形ＡＢＣＤ为矩形，ＡＤ＝４，ＡＢ＝６，∴∠ＤＡＭ＝∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＣ＝ＡＤ＝４，ＢＣＡＢ＝ ４ ６＝ ２ ３， ∴∠ＡＤＭ＋∠ＡＭＤ＝９０°，∵ＡＭ＝４ＢＭ，ＡＢ＝６，∴ＡＭ＝４５ＡＢ＝ ２４ ５， 又∵ＤＭ⊥ＭＮ，∴∠ＤＭＮ＝９０°，∴∠ＡＭＤ＋∠ＦＭＮ＝９０°， ∴∠ＡＤＭ＝∠ＦＭＮ，∴△ＡＤＭ∽△ＦＭＮ，∴ＤＡＭＦ＝ ＡＭ ＦＮ＝ ＤＭ ＭＮ，即 ４ ＭＦ＝ ２４ ５ ＦＮ＝ ２ ３， ∴ＭＦ＝６，ＦＮ＝３６５，∴ ＮＦ ＡＦ＝ ＮＦ ＡＭ＋ＭＦ＝ ３６ ５ ２４ ５＋６ ＝２３，∴ ＢＣ ＡＢ＝ ＮＦ ＡＦ， ∵∠ＡＢＣ＝∠ＡＦＮ＝９０°，∴△ＡＢＣ∽△ＡＦＮ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＦＡＮ，∴Ａ，Ｃ，Ｎ三点在同一条直线上． 其他方法见详解详析Ｐ ６３ 培优册·福建数学 重 难 题 型 篇 类 型 二　三线共点问题