思维专练10 圆中如何作辅助线-【一战成名新中考】2024福建中考数学·培优册

培优册·福建数学 模 型 方 法 篇 思维专练十　圆中如何作辅助线（必考） 类 型 一　遇到直角怎么思考 模型解读　遇到直角时，想到圆周角定理的推论 图示 辅助线 结论 连接ＡＢ ＡＢ是直径 ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２ 针对训练 １．（２０２２营口）如图，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上，ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＣ＝４，∠ＡＤＣ＝３０°，则ＢＣ的长为　４槡３　． 第１题图 类 型 二　遇到直径怎么思考 模型解读　遇到直径时，想到圆周角定理的推论 图示 辅助线 结论 在圆 上 任 选 一 点 Ｃ，连 接 ＡＣ，ＢＣ ∠Ｃ＝９０°， ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２ 针对训练 ２．如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，点 Ｃ和点 Ｄ是⊙Ｏ上的两点，连接 ＣＡ，ＣＤ，ＡＤ．若∠ＣＡＢ＝４０°，则 ∠ＡＤＣ的度数是　１３０°　． 第２题图 ９２ 培优册·福建数学 模 型 方 法 篇 类 型 三　遇到弧中点怎么思考 模型解读　遇到弧中点时，想到与垂径定理相结合 图示 辅助线 结论 点Ｐ是 ) ＡＢ的中点 连接ＯＰ ＯＰ⊥ＡＢ，ＡＣ＝ＢＣ 点Ｐ是 ) ＡＢ的中点 连接ＯＰ，过点Ｐ作ＭＮ∥ＡＢ ＭＮ是⊙Ｏ的切线 点Ｐ是 ) ＡＢ的中点 连接ＯＰ，过点Ｐ作ＭＮ∥ＡＢ，连接ＡＰ，ＢＰ ∠ＢＰＮ＝∠Ａ，ＡＰ＝ＢＰ 针对训练 ３．（２０２３宜宾）如图，已知点Ａ，Ｂ，Ｃ在⊙Ｏ上，Ｃ为 ) ＡＢ的中点．若∠ＢＡＣ＝３５°，则∠ＡＯＢ等于 （Ａ ） 第３题图 Ａ．１４０° Ｂ．１２０° Ｃ．１１０° Ｄ．７０° ４．如图，点Ｃ，Ｄ在半圆Ｏ上， ) ＡＣ＝２ ) ＣＤ＝２ ) ＢＤ，ＡＤ，ＢＣ相交于点Ｅ，ＤＥＡＥ的值为 （Ｄ ） 第４题图 Ａ．１３ Ｂ． １ ４ Ｃ． ２－槡２ ２ Ｄ． 槡２－１ ２ ０３ 书 培优册·福建数学 模 型 方 法 篇 模型解读　遇到弧中点时，想到与圆周角定理相结合 图示 辅助线 结论 点Ｐ是 ) ＡＢ的中点 连接ＣＰ ∠ＡＣＰ＝∠ＢＣＰ 点Ｐ是 ) ＡＢ的中点，ＡＢ是⊙Ｏ的直径 连接ＣＰ ∠ＡＣＰ＝∠ＢＣＰ＝４５°， △ＡＢＣ是直角三角形 点Ｐ是 ) ＡＢ的中点 连接ＣＰ，ＡＰ，ＢＰ ∠ＰＢＡ＝∠ＰＣＡ＝∠ＰＣＢ＝∠ＰＡＢ 针对训练 ５．如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，延长ＡＢ到点Ｐ，过点Ｐ作⊙Ｏ的切线，切点为Ｃ，连接ＡＣ，且ＡＣ＝ＣＰ． （１）求∠Ｐ的度数； （２）若点Ｄ是 ) ＡＢ的中点，连接ＣＤ交ＡＢ于点Ｅ，且ＤＥ·ＤＣ＝２０，求⊙Ｏ的面积． 第５题图 解：（１）如解图，连接ＯＣ， ∵ＰＣ为⊙Ｏ的切线，∴∠ＯＣＰ＝９０°，即∠ＣＯＰ＋∠Ｐ＝９０°， ∵ＯＡ＝ＯＣ，∴∠ＣＡＯ＝∠ＡＣＯ， ∵ＡＣ＝ＣＰ，∴∠Ｐ＝∠ＣＡＯ， 又∵∠ＣＯＰ是△ＡＯＣ的一个外角，∴∠ＣＯＰ＝２∠ＣＡＯ＝２∠Ｐ， ∴２∠Ｐ＋∠Ｐ＝９０°，∴∠Ｐ＝３０°； （２）如解图，连接ＡＤ， ∵Ｄ为 )ＡＢ的中点，∴ )ＡＤ＝ )ＢＤ，∴∠ＡＣＤ＝∠ＤＡＥ， 又∵∠ＡＤＣ＝∠ＥＤＡ，∴△ＡＣＤ∽△ＥＡＤ， ∴ＡＤＤＥ＝ ＤＣ ＡＤ，即ＡＤ ２＝ＤＣ·ＤＥ， 又∵ＤＣ·ＤＥ＝２０，∴ＡＤ＝２槡５， ∵ )ＡＤ＝ )ＢＤ，∴ＡＤ＝ＢＤ， 又∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＢ＝９０°，∴△ＡＤＢ为等腰直角三角形， ∴ＡＢ＝２槡１０，∴ＯＡ＝ １ ２ＡＢ＝槡１０， ∴Ｓ⊙Ｏ＝π·ＯＡ ２＝１０π． １３ 培优册·福建数学 模 型 方 法 篇 类 型 四　遇到弦怎么思考 模型解读　遇到弦时，想到连半径，构造等腰三角形 图示 辅助线 结论 连接ＯＡ，ＯＢ ∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ 针对训练 ６．如图，点Ａ，Ｂ，Ｃ均在⊙Ｏ上，若∠Ａ＝４８°，∠Ｃ＝１５°，则∠Ｂ＝ （Ｃ ） 第６题图 Ａ．４８° Ｂ．７８° Ｃ．６３° Ｄ．４９° 模型解读　遇到弦时，想到作垂直于弦的半径，构造直角三角形 图示 辅助线 结论 作ＯＣ⊥ＡＢ，垂足为Ｃ，连接ＯＢ （有时也可延长ＯＣ至圆上） ＡＣ＝ＢＣ， ＯＢ２＝ＯＣ２＋ＢＣ２ 针对训练 ７．如图，在△ＡＢＣ中，已知∠ＡＣＢ＝１３５°，∠ＢＡＣ＝１５°，以点Ｃ为圆心、ＣＢ长为半径的圆交 ＡＢ 于点Ｄ，ＡＤ＝２，则ＢＤ的长为 （Ａ ） 第７题图 Ａ．２槡３ Ｂ．槡３ Ｃ．槡３３ Ｄ．４ 模型解读　遇到弦时，想到过弦的端点作直径，构造直角三角形 图示 辅助线 结论 过点Ａ作直径ＡＢ，连接ＢＣ ∠Ｃ＝９０°， ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２ 针对训练 ８．如图，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，ｓｉｎＡ＝３５，ＢＣ＝６，则⊙Ｏ的半径为 （Ｃ ） 第８题图 Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ２３ 培优册·福建数学 模 型 方 法 篇 类 型 五　遇到切线怎么思考 方法解读　已知切线时，连接过切点的半径构造垂直 针对训练 ９．如图，ＡＢ与⊙Ｏ相切于点Ｂ，若⊙Ｏ的半径为２，ＡＢ＝３，则ＡＯ的长为 （Ｃ ） 第９题图 Ａ．槡５ Ｂ