思维专练9 辅助圆问题(含最值)-【一战成名新中考】2024福建中考数学·培优册

培优册·福建数学 模 型 方 法 篇 思维专练九　辅助圆问题 （含最值）（７年３考） 典例精讲 例　如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ． （１）如图①，Ｐ是△ＡＢＣ外任意一点，满足ＰＢ＝ＡＢ，若∠ＡＣＰ＝３０°，则∠ＡＢＰ的度数为　６０°　； 考查模型：定点定长作圆 （２）如图②，Ｐ是△ＡＢＣ外任意一点，满足∠ＡＰＣ＝９０°，连接ＢＰ，若∠ＡＢＰ＝２５°，则∠ＰＡＣ的 度数为　６５°　； 考查模型：四点共圆、定弦对定角 （３）如图③，Ｐ在ＢＣ下方，且∠ＡＰＣ＝９０°，ＡＰ平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｄ，则ＢＰ与ＣＰ的数量关系 为　ＢＰ＝ＣＰ　； 考查模型：直径对直角、四点共圆 （４）如图④，Ｐ是△ＡＢＣ内一点，满足∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ，若 ＡＢ＝４，则线段 ＣＰ长的最小值 为　２槡５－２　； 考查模型：直径对直角、点圆最值 （５）如图⑤，Ｐ是△ＡＢＣ内一点，Ｐ到Ｂ的距离为２，ＡＢ＝４，则△ＡＰＣ面积的最小值为　８－４槡２　． 考查模型：定点定长作圆、线圆最值 图① 　　 图② 　　 图③ 　　 图④ 　　 图⑤ 例题图 【思路点拨】 图① 　 图② 　 图③ 　　 图④ 　 图⑤ 例题解图 ５２ 培优册·福建数学 模 型 方 法 篇 模 型 一　定点定长作圆 名称 等距作圆 图形 圆心 点Ｏ 半径 ＯＡ或ＯＢ或ＯＣ 你 还 能 想 到 哪 些 定 点 定 长 作 圆 的 图 形 呢？ 旋转作圆 折叠作圆 点Ａ 点Ａ ＡＣ ＡＢ 模 型 二　定弦对定角 提示：点Ｃ为动点 名称 ９０°型（直径对直角） ６０°型 ４５°型 ３０°型 图形 圆心 ＡＢ的中点 △ＡＢＣ任意两边的 垂直平分线的交点 △ＡＢＣ任意两边的 垂直平分线的交点 △ＡＢＣ任意两边的 垂直平分线的交点 半径 １ ２ＡＢ 交点到点 Ａ，Ｂ，Ｃ的 距离，即槡 ３ ３ＡＢ 交点到点 Ａ，Ｂ，Ｃ的 距离，即槡 ２ ２ＡＢ ＡＢ 模 型 三　四点共圆 名称 ９０°圆周角型 共线段同侧两角型 对角互补型 图形 圆心 ＡＢ的中点 两个三角形任意 两边垂直平分线 的交点 四边形 ＡＢＣＤ任意两边 垂直平分线的交点 半径 １ ２ＡＢ 交点到点 Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ的距离 交点到点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的 距离 ６２ 培优册·福建数学 模 型 方 法 篇 模 型 四　点圆最值 圆上动点Ｍ和平面内点Ｄ之间的距离最值，设ＯＤ＝ｄ，⊙Ｏ的半径为ｒ． 名称 点在圆外 点在圆内 图形 文字 描述 思路：当 Ｄ、Ｍ、Ｏ三点共线时，线段 ＤＭ有 最值． 最大值：ＤＭ＝ｄ＋ｒ； 最小值：ＤＭ＝ｄ－ｒ 思路：当点Ｄ、Ｍ、Ｏ三点共线时，线段ＤＭ 有最值． 最大值：ＤＭ＝ｄ＋ｒ； 最小值：ＤＭ＝｜ｄ－ｒ｜＝ｒ－ｄ 模 型 五　线圆最值 名称 圆上动点Ｎ与直线上动点Ｍ的距离最值 圆上动点Ｎ到直线ｌ的距离最值 图形 点Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ，⊙Ｏ半径为ｒ 点Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ，⊙Ｏ半径为ｒ 文字 描述 思路：过点 Ｏ作 ｌ的垂线 ＯＭ′，交⊙Ｏ于 点Ｎ′． 最小值：Ｍ′Ｎ′＝ｄ－ｒ； 最大值：不存在 思路：过点Ｏ作ｌ的垂线ＯＭ′，交⊙Ｏ于点 Ｎ１，延长Ｍ′Ｏ交⊙Ｏ于点Ｎ２． 最小值：Ｍ′Ｎ１＝ｄ－ｒ； 最大值：Ｍ′Ｎ２＝ｄ＋ｒ ７２ 培优册·福建数学 模 型 方 法 篇 针对训练 １．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＢＤ＝ＣＤ，点Ｅ是ＡＢ延长线上一点，若∠ＣＢＥ＝７３°，则∠ＡＤＣ 的度数为 （Ｂ ） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１５２° Ｂ．１４６° Ｃ．１４０° Ｄ．１３８° 第１题图 　　　 第１题变式题图 变式　如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＤＣ，ＢＣ＝２，ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ＝５，则ＢＤ＝　４槡６　． ２．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，点Ｐ是ＢＣ边上一动点（点Ｐ不与Ｂ，Ｃ重合），连 接ＡＰ，作点Ｂ关于直线ＡＰ的对称点Ｍ，则线段ＭＣ的最小值为 （Ａ ） Ａ．２ Ｂ．５２ Ｃ．３ Ｄ．槡１０ 第２题图 　　　　 第３题图 　　　　 第４题图 　　　　 第５题图 ３．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝６，∠ＢＡＣ＝４５°，则△ＡＢＣ面积的最大值为　９＋９槡２　． ４．如图，ＡＢ＝ＡＤ＝６，∠Ａ＝６０°，点Ｃ在∠ＤＡＢ内部且∠Ｃ＝１２０°，则ＣＢ＋ＣＤ的最大值为 （Ａ ） Ａ．４槡３ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．６槡３ ５．（２０２１福建２４题节选）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ为边ＡＢ上的两个三等分点，点Ａ关于 ＤＥ的对称点为Ａ′，ＡＡ′的延长线交ＢＣ于点Ｇ，则∠ＧＡ′Ｂ＝　４５°　． ６．如图，⊙Ｏ半径为６，弦 ＡＢ＝６，点 Ｐ为优弧 ＡＢ上一动点，ＡＣ⊥ＡＰ交直线 ＰＢ于点 Ｃ，则 △ＡＢＣ的最大面积是 （Ｂ ） Ａ．６槡５ Ｂ．９槡３ Ｃ．６槡２ Ｄ．９ 第６