思维专练6 全等、相似模型(含如何构造)-【一战成名新中考】2024福建中考数学·培优册

培优册·福建数学 模 型 方 法 篇 思维专练六　全等、相似模型（含如何构造）（必考） 必备技能：５种辅助线作法 １．作平行线法 例１　（多解法）如图，△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝８０°，∠Ｃ＝４０°，ＡＰ平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｐ，ＢＱ平 分∠ＡＢＣ交ＡＣ于点Ｑ，求证：ＡＢ＋ＡＱ＝ＢＰ＋ＡＰ． 　　　　　　　　　　　　　添加辅助线：方法一　　　　　　方法二 例１题图 　　　　　　 图① 　　 图② 　　　　　　例１            题解图 【思路点拨】根据所求，可通过角度、线段的转化的方式构造全等． 方法一：如解图①，过点Ｑ作ＱＦ∥ＡＰ交ＢＣ于点Ｆ，可得△ＢＱＡ≌△ＢＱＦ； 方法二：如解图②，过点Ｏ作ＯＧ∥ＡＣ交ＡＢ于点Ｇ，可得△ＢＯＧ≌△ＢＯＰ． 接下来的证明过程同学们自行完成哦！试想一下还有其他的方法吗？ ２．倍长中线法 例２　如图，△ＡＢＣ中，Ｄ为ＢＣ的中点．求证：ＡＢ＋ＡＣ＞２ＡＤ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　添加辅助线： 例２题图 　　　　　　　　 例２题解图           【思路点拨】将要求的三条线，转化到同一个三角形（△ＡＣＥ）中 ，如解图，延长 ＡＤ至点 Ｅ，使ＤＥ＝ＡＤ，连接 ＣＥ，可得△ＡＤＢ≌△ＥＤＣ．利用两边之和大于第三边，从而可证明 结论． 接下来的证明过程同学们自行完成哦！ 变式　如图，△ＡＢＣ中，Ｄ为ＢＣ中点，Ｅ为ＡＢ上一点，Ｆ为ＡＣ上一点，ＥＤ⊥ＤＦ，连接ＥＦ，求 证：ＢＥ＋ＦＣ＞ＥＦ． 添加辅助线： 例２题变式题图 　　　　　　 例２题变式题解图 【思路点拨】方法同上．接下来的证明过程同学们自行完成哦！ １１ 培优册·福建数学 模 型 方 法 篇 ３．截长（补短）法 例３　（多解法）如图，△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，∠Ｂ＝２∠Ｃ，求证：ＡＢ＋ＢＤ＝ＣＤ． 　　　　　　　　　　　添加辅助线：方法一（截长法）　　方法二（补短法） 例３题图 　　　　　　 图① 　　 图② 　　　　　　　　　　　　　例３                题解图 【思路点拨】 方法一截长法：如解图①，在ＣＤ取一点Ｅ，使ＤＥ＝ＤＢ，连接ＡＥ，可得△ＡＤＥ≌△ＡＤＢ； 方法二补短法：如解图②，在 ＣＤ延长线上取一点 Ｆ，使 ＤＦ＝ＣＤ，连接 ＡＦ，可得△ＡＤＣ ≌△ＡＤＦ． 接下来的证明过程同学们自行完成哦！ ４．垂线法 例４　如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，点 Ｅ是 ＡＢ上一点，连接 ＤＥ，ＣＥ，若 ∠ＤＥＡ＝７５°，∠ＤＥＣ＝６０°，ＤＥ＝ＣＥ．求证：ＡＤ＝ＡＢ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　添加辅助线： 例４题图 　　　　　　　　 例４题解图     【思路点拨】由 ＤＥ＝ＣＥ，可知要得 ＡＤ＝ＡＢ，即要构造直角三角形．如解图，过点 Ｃ作 ＣＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，可得△ＣＤＦ≌△ＤＥＡ．接下来的证明过程同学们自行完成哦！ ５．旋转法 例５　（多解法）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ边上一点，Ｆ为ＣＤ边上一点，ＢＥ＋ＤＦ＝ ＥＦ．求∠ＥＡＦ的度数． 　　　　添加辅助线：方法一　　　　　　方法二 例５题图 　　　　　　　 图① 　　　 图② 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例５                    题解图 【思路点拨】 方法一：如解图①，延长ＣＢ，使得Ｂ