思维专练5 角平分线模型-【一战成名新中考】2024福建中考数学·培优册

培优册·福建数学 模 型 方 法 篇 思维专练五　角平分线模型（必考） 　　　　　　　　　　　　　　　　模 型 一 看到“角平分线”，作垂线 模型解读 图示 文字 描述 已知：ＯＰ平分∠ＡＯＢ，ＰＭ⊥ＯＡ于点Ｍ 作法：过点Ｐ作ＰＮ⊥ＯＢ于点Ｎ 结论：ＰＮ＝ＰＭ，△ＰＭＯ≌△ＰＮＯ， ＯＮ＝ＯＭ 针对训练 １．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＡＢ＝ １０，∠ＣＡＢ的平分线交ＢＣ于点 Ｄ，则 Ｓ△ＡＢＤ 为 （Ｄ ） 第１题图 Ａ．６ Ｂ．９ Ｃ．１２ Ｄ．１５ ２．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝３０°，∠Ｃ＝４５°，ＡＤ 平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｄ，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ， 若ＤＥ＝１，求ＢＣ的长． 第２题图 解：如解图，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ于点Ｆ． ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＥ⊥ＢＡ，ＤＦ⊥ＡＣ， ∴ＤＦ＝ＤＥ＝１， 在Ｒｔ△ＢＤＥ中，∠Ｂ＝３０°，ＤＥ＝１， ∴ＢＤ＝２， 在Ｒｔ△ＤＣＦ中，∠Ｃ＝４５°，ＤＦ＝１， ∴ＤＣ＝槡２，∴ＢＣ＝２＋槡２． 模 型 二　看到“角平分线”，巧截取 模型解读 图示 文字 描述 已知：ＯＰ平分∠ＡＯＢ，点Ｍ在ＯＡ上 作法：在 ＯＢ上截取 ＯＮ＝ＯＭ，连 接ＰＮ 结论：△ＰＮＯ≌△ＰＭＯ，ＰＮ＝ＰＭ 针对训练 ３．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∠Ｃ＝ ２∠Ｂ，求证：ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＤ． 第３题图 证明：如解图，在 ＡＢ上取点 Ｅ，使得 ＡＥ＝ＡＣ，连 接ＥＤ， ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ∴∠１＝∠２． 在△ＡＥＤ和△ＡＣＤ中， ＡＥ＝ＡＣ， ∠１＝∠２， ＡＤ＝ＡＤ { ， ∴△ＡＥＤ≌△ＡＣＤ（ＳＡＳ）， ∴∠ＡＥＤ＝∠Ｃ，ＥＤ＝ＣＤ， ∵∠Ｃ＝２∠Ｂ，且∠ＡＥＤ＝∠Ｂ＋∠ＢＤＥ， ∴∠Ｂ＝∠ＢＤＥ， ∴ＢＥ＝ＤＥ， ∴ＡＢ＝ＡＥ＋ＢＥ＝ＡＣ＋ＤＥ＝ＡＣ＋                                                                 ＣＤ． ９ 培优册·福建数学 模 型 方 法 篇 模 型 三　看到“角平分线”，构等腰（三线合一） 模型解读 图示 文字 描述 已知：ＯＰ平分∠ＡＯＢ，点Ｍ在ＯＡ上， ＭＰ⊥ＯＰ 作法：延长ＭＰ交ＯＢ于点Ｎ 结论：△ＰＯＭ≌ △ＰＯＮ，ＰＮ ＝ＰＭ， △ＭＯＮ是等腰三角形 针对训练 ４．如图，已知△ＡＢＣ的面积为 １２，ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，且ＡＤ⊥ＢＤ于点 Ｄ，则△ＡＤＣ的面 积是 （Ｃ ） 第４题图 Ａ．１０ Ｂ．８ Ｃ．６ Ｄ．４ ５．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ， ＢＥ平分∠ＡＢＣ，ＣＥ⊥ＢＥ．求证：ＢＤ＝２ＣＥ． 第５题图 证明：如解图，延长ＢＡ交ＣＥ的延长线于点Ｆ， ∵ＢＥ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＣＢＥ＝∠ＦＢＥ， ∵ＣＥ⊥ＢＥ，∴∠ＢＥＣ＝∠ＢＥＦ＝９０°， ∵在△ＢＣＥ和△ＢＦＥ中， ∠ＣＢＥ＝∠ＦＢＥ， ＢＥ＝ＢＥ， ∠ＢＥＣ＝∠ＢＥＦ＝９０° { ， ∴△ＢＣＥ≌△ＢＦＥ（ＡＳＡ）， ∴ＣＥ＝ＥＦ，∴ＣＦ＝２ＣＥ， ∵∠ＢＡＣ＝９０°，ＣＥ⊥ＢＥ，∴∠ＡＢＤ＋∠ＡＤＢ＝９０°， ∠ＣＤＥ＋∠ＡＣＦ＝９０°， 又∵∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＥ，∴∠ＡＣＦ＝∠ＡＢＤ， 模 型 四　看到“角平分线＋平行”，想等腰 模型解读 图示１ 文字 描述 已知：ＯＣ平分∠ＡＯＢ，ＣＤ∥ＯＢ 结论：ＯＤ＝ＣＤ，△ＯＤＣ是等腰三角形 图示２ 文字 描述 已知：ＯＣ平分∠ＡＯＢ，ＤＥ∥ＣＯ 结论：ＯＥ＝ＯＤ，△ＥＯＤ是等腰三角形 针对训练 ６．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝３， ＢＣ＝４，∠ＢＡＣ、∠ＡＣＢ的平分线相交于点 Ｅ，过点 Ｅ作 ＥＦ∥ＡＣ交 ＢＣ于点 Ｆ，则 ＥＦ 的长为 （Ｄ ） 第６题图 Ａ．５２ Ｂ． １５ ４ Ｃ． １０ ３ Ｄ． ５ ３ ７．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝７，ＢＣ＝９，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ交 ＢＣ于点Ｅ，若∠ＡＤＢ＝∠ＥＤＢ，求ＡＣ的长． 第７题图 解：如解图，延长ＥＤ交ＡＢ于点Ｆ，连接ＤＣ． ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＦＡＤ＝∠ＣＡＤ， ∵ＤＥ∥ ＡＣ，∴ ∠ＦＤＡ＝∠ＣＡＤ，∴ ∠ＦＡＤ ＝ ∠ＦＤＡ，∴ＦＡ＝ＦＤ． ∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＥＢＤ， ∵ＢＤ＝ＢＤ，∠ＢＤＡ＝∠ＢＤＥ， ∴△ＡＢＤ≌△ＥＢＤ（ＡＳＡ），∴ＢＥ＝ＢＡ＝７， ∵ＢＣ＝９，∴ＣＥ＝２． ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ， ∴ＣＤ平分∠ＡＣＢ                                          