6.1.1&6.1.2 函数的平均变化率、导数及其几何意义（4知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

6.1.1 函数的平均变化率 6.1.2 导数及其几何意义 课程标准 学习目标 （1）理解函数平均变化率的函数，会求函数在区间上的平均变化率； （2）领会以直代曲的思想方法； （3）会求位移函数在某段时间内的平均速度，理解平均变化率的物理意义； （4）了解理解瞬时变化率、导数的概念，会用导数的定义求函数的导数； （1）通过对平均变化率的理解与运用，达成数学抽象、直观抽象与数学运算的核心素养； （2）掌握曲线上某点附近的平均变化率求法； （3）理解导数的几何意义，能应用导数的几何意义解决相关问题； （4）正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程。 知识点01 函数的平均变化率 1、平均的变化率的定义：一般地，若函数的定义域为，且，，，，则称为自变量的改变量；称（或者）为相应的因变量的改变量；称（或）为函数在以，为端点的闭区间上的平均变化率，其中“以，为端点的闭区间”，在时指的是，而是指的是。 2、平均变化率的实际意义：在以，为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位。因此，如果自变量增加个单位，那么因变量将增加个单位。 3、平均变化率的几何意义：设，是曲线上任意不同的两点，函数在上的平均变化率为割线的斜率，如图所示。 【即学即练1】（22-23高二下·辽宁阜新·期末）若函数，则函数从到的平均变化率为（ ） A．6 B．3 C．2 D．1 知识点02 平均速度与平均变化率 1、平均速度的定义：如果函数运动的位移与时间的关系为，则物理在（时）或（时）这段时间内的平均速度为 2、平均变化率的实质与作用： （1）实质：物理在某段时间内的平均速度等于在该段时间内的平均变化率； （2）作用：物理学中，平均速度可以刻画物体在一段时间内运动的快慢。 【即学即练2】（2024高二下·全国·专题练习）物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 知识点03 瞬时速度与导数 1、物理运动的瞬时速度 设物体运动路程与事件的关系是，当趋近于0时，函数在到之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为时刻的瞬时速度。 2、函数的瞬时变化率 设函数在附近有定义，当自变量在处的改变量为时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数，那么常数称为函数在点的瞬时变化率。 记作：当时， 还可以说：当时，函数平均变化率的极限等于函数在的瞬时变化率,记作 3、函数在处的导数：函数在点的瞬时变化率，通常称为在点处的导数，并记作，即 【即学即练3】（22-23高二下·浙江嘉兴·期中）函数在处的瞬时变化率为（ ） A． B． C． D． 知识点04 导数的几何意义 1、割线斜率与切线斜率 一般地，如图所示，设是平面上的一条曲线，是曲线上的一个顶点，是曲线上附近的点，则称直线为曲线的割线，如果无限接近于时，割线无限接近于通过的一条直线，则称直线为曲线在点处的切线。 依据切线的定义可知，如果将函数的图象看成曲线（称为曲线，下同），而且曲线在点处的切线为，则很小时，是附近的一点，割线的斜率是，则当无限接近于0时，割线的斜率将无线趋近于切线的斜率。 2、导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义是曲线在点处（也称在处）的切线的斜率。也就是说，曲线在处的切线的斜率是。相应的，切线方程为 【即学即练4】（23-24高二下·全国·课时练习）函数的图象如图所示，则 与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【题型一：求函数的平均变化率】 例1．（22-23高二下·全国·课时练习）已知函数的图象上一点及附近一点，则（ ） A．4 B． C． D． 变式1-1．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（ ） A．1 B．2 C． D．0 变式1-2．（23-24高二下·河南·开学考试）已知函数，则从1到的平均变化率为（ ） A．2 B． C． D． 变式1-3．（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为 ． 【方法技巧与总结】 1、求函数平均变化率的三个步骤： 第一步：求自变量的增量； 第二步：求函数值的增量； 第三步：求平均变化率 2、求平均变化率的一个关注点