精品解析：河北省唐山市第五中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

高一年级第二学期开学考试数学 一、单选题 1. 已知集合，则集合真子集个数为（ ） A 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 下列说法正确的是（ ） A. 向量的模是一个正实数 B. 若与不共线，则与都是非零向量 C. 共线的单位向量必相等 D. 两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同 3. 设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量和的夹角为，，，则等于（　　） A. 15 B. 12 C. 6 D. 3 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知直线，为之间一定点，并且点到的距离为2，到的距离为1.为直线上一动点，作，且使与直线交于点，则△面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知非零向量、，下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. (多选)要得到y＝cos 2x的图象C1，只要将y＝sin的图象C2怎样变化得到（ ） A. 沿x轴方向向左平移个单位长度 B. 沿x轴方向向右平移个单位长度 C. 先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位长度 D. 先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位长度 11. 已知函数的初相为，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 函数的一个单调递减区间为 C. 若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数 D. 若函数在区间上的值域为 12. 定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 三、填空题 13. 已知向量，，若，，与垂直，则与的夹角的余弦值为______. 14. 若，则_________． 15. 已知单位向量、满足，则______ 16. 若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和_________. 四、解答题 17. 已知，且． （1）证明：； （2）求最小值． 18. 在棱长为2的正四面体中，. （1）设用，，表示； （2）若求. 19. 已知函数 （1）求的值； （2）若，求的值． 20. 已知向量 和 ，则 ,, 求： （1） 的值； （2） 的值； （3） 与 的夹角θ的余弦值． 21. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的的值． 22. 已知函数. （1）判断并证明的奇偶性； （2）判断单调性，并用定义法证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级第二学期开学考试数学 一、单选题 1. 已知集合，则集合真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集的个数为个可得答案. 【详解】解：由，得 所以集合的真子集个数为个. 故选：C 【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有个元素的集合，其真子集的个数为个，属于基础题. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 向量的模是一个正实数 B. 若与不共线，则与都是非零向量 C. 共线的单位向量必相等 D. 两个相等向量起点、方向、长度必须都相同 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的相关概念逐项分析判断即得. 【详解】向量的模是一个非负实数，如零向量的模是0，A错误； 零向量与任意向量共线，若与不共线，则与都是非零向量， B正确； 共线的单位向量方向可能相同，也可能相反，C错误； 两个向量相等的条件是长度相等、方向相同，与起点无关，D错误． 故选：B 3. 设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量及菱形知识可得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以， 所以四边形是平行四边形， 因为，即， 所以四边形是菱形. 故选：B 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可求得，利用同角的三角函数关系将原式化简，即可求得答案. 【详解】因为，故，则， 所以 ， 故选：A 5. 已知向量和的夹角为，，，则等于（　　） A. 15 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据