专题5 几何综合题-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·培优册

培优册·安徽数学 模 块 二 重 难 专 题 篇 专题五　 几何综合题(必考) 例　 (优质原创)在正方形 ABCD 中,E 在 BC 边上,P 为 CD 边所在直线上一动点,连接 AP, AE,PE. (1)已知 AP = AE. (ⅰ)如图①,若 E 是 BC 的中点,AB = 4,求 PE 的长; 例题图① 　 　 　 　 例题图② 【思路分析】由 AP = AE 及正方形的性质可证 Rt△ADP≌Rt△ABE,再根据 E 是 BC 的中点,可 求出 BE,DP 的长,进而得出 CE,CP 的长,在 Rt△EPC 中,由勾股定理即可求解. 解:在正方形 ABCD 中,∠D =∠B =∠C =90°, AD =AB =CD =BC, 在 Rt△ADP 和 Rt△ABE 中,AD =AB,AP =AE, ∴Rt△ADP≌Rt△ABE(HL),∴DP =BE, 又∵E 为 BC 的中点,AB =4,∴BE =EC =DP = PC =2, 在 Rt△EPC 中,由勾股定理得 PE =2 2; 　 (ⅱ)如图②,连接 BD,分别交 AE,AP 于点 M,N,若 EP = DN,求证:AN2 = AP·NP; 【思路分析】要证 AN2 = AP·NP,即ANAP = NP AN,可考虑证三角形相似,证△AMN∽△AEP 可得 AN AP = MN EP,证△PDN∽△ABN 可得 NP AN = PD AB,证△ENM∽△ABM 可得 MN MB = EN AB,通过线段等量 代换即可得证. 证明:如解图①,连接 EN,由(ⅰ)知 DP =BE,∵CD =BC,∴CP =CE, ∴EP∥BD,又∵AP =AE,∴∠AMN =∠AEP =∠APE =∠ANM, ∴∠AMB =∠AND, ∵∠ABM =∠ADN =45°,AB =AD, ∴△ABM≌△ADN,∴BM =DN,∴EP =ND =BM, 又∵EP∥ND,∴四边形 NEPD 为平行四边形, ∴EN∥CD∥AB,MN∥EP,NE =DP, ∴△ABM∽△ENM,△ABN∽△PDN,△AMN∽△AEP, ∴ANAP = MN EP = MN BM = NE AB = DP AB = NP AN, ∴AN2 =AP·NP; 例题图③ (2)(多解法)如图③,若 E 是 BC 的中点,AE⊥PE,求证:AE 平分∠BAP; 【思路分析】已知 AE⊥PE,要证 AE 平分∠BAP,根据等腰三角形三线合一的 性质,可证等腰三角形. 方法一:延长 AE 交 DC 的延长线于点 F,证△APF 是 等腰三角形,再结合平行线的性质即可得证;方法二:延长 PE 交 AB 的延长 线于点 F,证△APF 是等腰三角形. 17 培优册·安徽数学 模 块 二 重 难 专 题 篇 【模型分析】遇到中点,可利用倍长中线构造全等三角形. 证明:方法一:如解图②,延长 AE 交 DC 的延长线于点 F. ∵AB∥CF,∴∠BAE =∠F, 又∵BE =EC,∠B =∠ECF,∴△ABE≌△FCE,∴AE =EF, ∵AE⊥PE,∴PE 为 AF 的垂直平分线,∴PA = PF, ∴∠PAE =∠F,∴∠BAE =∠PAE,∴AE 平分∠BAP; (方法二见本册 P101) (3)(多解法)若 E 是 BC 的中点,∠APE = 45°,求AEEP的值; 【思路分析】已知∠APE = 45°,可分情况讨论:①点 P 和点 C 重合,②点 P 和点 C 不重合,分 别画出图形求解. 【模型分析】当点 P 和点 C 不重合时,∠ACE =∠APE = 45°,可得 A,P,C,E 四点共圆. 解:当点 P 和点 C 重合时,如解图③,∠APE =45°, 设 BE =EC = x,则 AB =2x,AE = 5x, ∴AEEP = AE EC = 5x x = 5; 当点 P 和点 C 不重合时, 方法一:如解图④,连接 AC 交 EP 于点 M, ∵∠ACE =∠APE =45°,∠AMP =∠EMC,∴△APM∽△ECM,∴AMEM = PM CM, ∵∠AME =∠PMC,∴△AEM∽△PCM,∴∠AEM =∠PCM =45°, ∴△AEP 为等腰直角三角形, ∴AEEP = 1 2 = 22 , 综上,AEEP的值为 5或 2 2 ; (方法二见本册 P101) (4)若∠CEP =∠BAE,AE = 2EP,AB = 4,求 AP 的长. 【思路分析】已知∠CEP =∠BAE,而∠BAE 是定角,可分情况讨论:①点 P 在 CD 边上,②点 P 在 DC 边的延长线上,分别画出图形,已知 AE = 2EP,可通过证三角形相似求解. 解:当点 P 在 CD 边上时,如解图⑤, ∵∠BAE =∠CEP,