专题4 二次函数性质及几何图形综合题-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·培优册

培优册·安徽数学 模 块 二 重 难 专 题 篇 专题四　 二次函数性质及几何图形综合题(10 年 6 考) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类 型 1　 线段问题(2021. 22,2019. 22) 1. (2023 滁州二模)【阅读理解】 已知关于 x 的二次函数 y = x2 - 2ax + a2 + 2a = (x - a) 2 + 2a,其图象的顶点坐标为 (a,2a),故不论 a 取何值,该二次函数图象 的顶点都在直线 y = 2x 上,我们称顶点位于 同一条直线上且形状相同的抛物线为同源 二次函数的图象,该条直线为根函数的 图象. 【问题解决】 (1)若二次函数 y = x2 + 2x - 3 和 y = - x2 - 4x - 3 是同源二次函数,求它们的根函 数表达式; (2)已知关于 x 的二次函数 C:y = x2 -4mx + 4m2 - 4m + 1(m≠0),完成下列问题: ①求满足二次函数 C 的所有二次函数 的根函数表达式; ②若二次函数 C 的图象与直线 x = - 3 交于点 P,求点 P 到 x 轴的最小距 离,并求出此时 m 的值. 解:(1)∵ y = x2 +2x -3 = (x +1) 2 -4, ∴该抛物线的顶点坐标为( -1, -4) . ∵ y = - x2 -4x -3 = - (x +2) 2 +1, ∴该抛物线的顶点坐标为( -2,1) . 设经过点( - 1, - 4)和点( - 2,1)的直线的解析 式为 y = kx + b(k≠0), ∴ - k + b = -4, -2k + b =1,{ 解得 k = -5, b = -9,{ ∴ y = -5x -9, ∴它们的根函数表达式为 y = -5x -9; (2)①∵ y = x2 -4mx +4m2 -4m +1 = (x -2m)2 - 4m +1, ∴该抛物线的顶点坐标为(2m, -4m +1), 设顶点(2m, - 4m + 1)在直线 y = ax + 1 ( a≠ 0)上, ∴ -4m +1 =2ma +1 且 m≠0,解得 a = -2, ∴顶点(2m, -4m +1)在直线 y = -2x +1 上, ∴满足二次函数 C 的所有二次函数的根函数表 达式为y = -2x +1; ②∵二次函数 C 的图象与直线 x = -3 交于点 P, ∴ y = ( -3) 2 - 4m·( - 3) + 4m2 - 4m + 1 = 4m2 +8m +10, 2. 已知抛物线 y = x2 + bx + c 与 x 轴交于点 A(3,0 ), 与 y 轴交于点 B ( 0, - 3 ), 连 接 AB. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 为直线 AB 下方抛物线上一动 点,过点 P 作 PC⊥x 轴,垂足为 C,PC 交 AB 于点 D,当点 D 是 CP 的三等分点 时,求点 P 的坐标; (3)将抛物线 y = x2 + bx + c 向右平移得到 新抛物线,直线 AB 与新抛物线交于 M, N 两点,若点 A 是线段 MN 的中点,求 新抛物线的解析式. 解:(1)由题意得, c = -3, 9 +3b + c =0,{ 解得 c = -3, b = -2,{ ∴抛物线的解析式为 y = x2 -2x -3; (2)如解图,设直线 AB 的解析式为 y = kx + d (k≠0), 将 B (0, - 3 ), A (3, 0 ) 代入得 d = -3, 3k + d =0,{ 解 得 d = -3, k =1,{ ∴直线 AB 的解析式为 y = x -3, 设点 P(m,m2 - 2m - 3),D(m,m - 3),其中 0 < m <3, ∵D 为 CP 的三等分点, ∴ - (m -3) - (m2 -2m -3) = 13 或 - (m -3) - (m2 -2m -3) = 23 , 解得 m1 =2,m2 = 1 2 ,m3 =m4 =3(舍去), ∴P(2, -3)或( 12 , - 15 4 ); (3)y = (x - 52 ) 2 -4. (详解见本册 P99) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋