15.与轨迹有关的问题&16.“12345”模型-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·培优册

培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 15. 与轨迹有关的问题(10 年 3 考) 类 型 1　 特殊条件下的直线轨迹问题(2023. 10,2022. 10,2017. 10) 问题:(1)如图①,已知线段 AB 及一点 P,且满足 PA = PB,画出点 P 的轨迹; (2)如图②,已知∠AOB 及∠AOB 内一点 P,且满足点 P 到射线 OA,OB 的距离相等,画出 点 P 的轨迹; (3)如图③,已知线段 AB,点 P 是线段 AB 上方一点,且满足点 P 到直线 AB 的距离是定值 m,画出点 P 的轨迹. 图① 　 　 图② 　 　 图③ 原理:(1)线段垂直平分线逆定理:到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上; (2)角平分线逆定理:在一个角的内部,到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分 线上; (3)两条平行线之间的距离处处相等. 【自主解答】 解:(1)如解图①,点 P 的轨迹是线段 AB 的垂直平分线 PM; (2)如解图②,点 P 的轨迹是∠AOB 的平分线 OP; (3)如解图③,点 P 的轨迹是过点 P 且平行于 AB 的直线 l. 例 1 　 (2017 安徽 10 题 4 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB = 5,AD = 3,动点 P 满足 S△PAB = 1 3 S矩形ABCD,则点 P 到 A,B 两点距离之和 PA + PB 的最小值为 ( D ) 例 1 题图 A. 29　 　 　 　 　 B. 34　 　 　 　 　 C. 5 2　 　 　 　 　 D. 41 【思路分析】首先由 S△PAB = 1 3 S矩形ABCD,得出动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上,作点 A 关于直线 l 的对称点 E,连接 BE,则 BE 的 长就是所求的最短距离,在 Rt△ABE 中即可得解. 例 2 题图 例 2 　 如图,线段 AB 的长为 8,点 D 在 AB 上,△ACD 是等边三角形,过点 D 作与 CD 垂直的射线 DP,过 DP 上一动点 G(不与 D 重合)作矩形 CDGH,记矩形 CDGH 的对角线交点为 O,连接 OB,则线段 OB 的最小 值为 ( B ) A. 5 B. 4 C. 4 3 D. 5 3 94 培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 例 3 　 如图,一副三角板 ABC 和 EDF 拼合在一起,边 AC 与 EF 重合,∠BAC = 30°,∠DEF = 45°,∠EDF =∠ACB = 90°,AC = 6 cm. 当点 E 从点 A 出发沿 AC 向下滑动时,点 F 同时从点 C 出发沿射线 BC 向右滑动. 在点 E 从点 A 滑动到点 C 的过程中,连接 BD,则△BCD 面积 的最大值为　 3 6　 cm2 . 例 3 题图 类 型 2　 “主从联动”问题 “主从联动”直线问题 问题:(1)如图①,点 A 是直线 l 外一定点,点 P 是直线 l 上一动点,连接 AP,取 AP 的中点 Q,当 点 P 在直线 l 上运动时,画出点 Q 的轨迹; (2)如图②,点 A 是直线 l 外一定点,点 P 是直线 l 上一动点,连接 AP,以 AP 为腰作等腰 三角形 APM,且∠PAM = α,当点 P 在直线 l 上运动时,画出点 M 的轨迹. 图① 　 　 　 　 　 　 图② 思路:(1)定点到定直线的距离相等;(2)定角等比构造全等. 作法:(1)如图③,过点 A,Q 分别作直线 l 的垂线 AC,QB,则 QB∥AC,且 QB = 12 AC,∵ AC 是定 值,∴ QB 是定值,即点 Q到直线 l 的距离始终相等,∴ 点 Q 的轨迹是平行于直线 l 的一条 直线; 图③ 　 　 　 　 　 　 图④ (2)如图④,当点 P 运动到点 P′时,以 AP′为腰作等腰三角形 AP′M′,且∠P′AM′ = α, ∴ ∠PAP′ =∠MAM′,∵ AP = AM,AP′ = AM′,∴ △APP′≌△AMM′(SAS),∴ ∠APP′ = ∠AMM′ = 12 (180° - α),∴ ∠PMM′ = ∠AMP + ∠AMM′ = 180° - α,∴ 直线 MM′与直 线 l 的夹角为 α,即点 M 的轨迹为直线 MM′. 总结:定点 A 为直线(线段)外一点,主动点 P 为直线上一点,从动点 Q 为任意一点,若∠PAQ 为定角,AQAP为定值,则从动点 Q 的轨迹为一条直线(线段) . 如问题(1)中定角为 0,定值为 1 2 ;问题(2)中定角为 α,定值为 1. 【解题策略】解决“主从联动”型问题通常用到旋转和相似,也就是我们常说的全等型和相似型 的手拉手模型. 05 培优