14.隐圆问题-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·培优册

培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 14. 隐圆问题(10 年 3 考) 类 型 1　 定点定长(2023. 22) 类型 等距成圆 旋转成圆 折叠成圆 斜边中点 图示 轨迹 情况 点 A, B, C 都 在 圆 心 为 点 O,半径为 r 的 圆上 点 B 在圆心为点 A,半径为 AB 长 的圆上; 点 C 在 圆心为点 A,半径 为 AC 长的圆上 点 P 在边 BC 上 运动, 折 叠 后 点 B′在圆心为点 A, 半径为 AB 长的 圆上 点 A,B 分别是直角边 OM,ON 上的动点,AB 定长,AB 的中 点 C 在圆心为点 O,半径为 1 2 AB长的圆上 例 1 　 如图,在四边形 ABCD 中,AB = AC = AD,∠CAD = 2∠BAC,若∠BCD = 105°,则∠BDC = 　 25　 °. 例 1 题图 　 　 　 　 例 2 题图 　 　 　 　 例 3 题图 例 2 　 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,AB = 4,AB = 12 AC,D 是 BC 边上一动点,将△ABD 沿 AD 翻折,得到△AB′D. 点 D 从点 B 出发沿 BC 方向运动,当点 B′落在 AC 边上时,点 D 停止 运动,则在点 D 的运动过程中,点 B′的运动路径长为　 　 　 　 . 类 型 2　 四点共圆(2021. 10) 类型 对角互补 定线段同侧两角相等 含直角 不含直角 角为直角 角为非直角 图示 轨迹 情况 圆心为 AB 的中点 O,半径为 12 AB 长 圆心为四边形 AB- CD 任 意 两 邻 边 垂 直平分线的交点 O, 半径为 OA 长 圆心为 AB 的中点 O,半径为 12 AB 长 圆 心 为 △ABC 或 △ABD 任意两边垂直 平分线的交点 O,半 径为 OA 长 【注意】四点共圆不能在书写解答或证明过程中直接应用,需通过“定点定长”证明. 例 3 　 如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC = ∠ADC = 90°,E 为对角线 AC 的中点,连接 BE,ED, BD. 若∠BAD = 58°,则∠EBD 的度数为　 32　 °. 74 培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 类 型 3　 定弦定角(2016. 10) 类型 角为锐角 角为直角 角为钝角 图示 轨迹 情况 以 AB 为底边在点 P 同侧构造 顶角为 2α 的等腰三角形 OAB, 点 P 在圆心为点 O,半径为 OA 长的圆上 点 P 在圆心为 AB 的中 点 O, 半 径 为 1 2 AB长的圆上 以 AB 为底边在点 P 异侧构造 顶角为 360° - 2α 的等腰三角 形 OAB,点 P 在圆心为点 O, 半径为 OA 长的圆上 通法:作△PAB 中任意两边的垂直平分线,其交点即为圆心,圆心与△PAB 任意一个顶 点的连线即为半径 例 4 　 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 4,BC = 6,E 是矩形内部的一个动点,且 AE⊥BE,则线段 CE 的最小值为 ( B ) A. 32 B. 2 10 - 2 C. 2 13 - 2 D. 4 例 4 题图 　 　 　 例 5 题图 类 型 4　 最大张角 问题描述 已知点 A,B 是∠MON 的边 ON 上的两个定点,点 C 是边 OM 上的动点,则当 C 在何处时,∠ACB 最大 最大张角 当且仅当△ABC 的外接圆与边 OM 相切于点 C 时,∠ACB 最大 证明 设 C′是边 OM 上不同于点 C 的任意一点,连接 AC′,BC′, BC′交☉I 于点 D,连接 AD,由圆周角定理可知∠ACB = ∠ADB,由三角形内外角关系可知∠ADB >∠AC′B,∴ ∠ACB > ∠AC′B,∴ 当☉I 与边 OM 相切于点 C 时,∠ACB 最大 例 5 　 如图,某雕塑 MN 位于河段 OA 上,游客 P 在步道上由点 O 出发沿 OB 方向行走. 已知 ∠AOB = 30°,MN = 2OM = 40 m,当观景视角∠MPN 最大时,游客 P 行走的距离 OP 是 　 20 3　 米. 84 一战成名·安徽数学 　 培 优 册 点 A 作 AG⊥BC 于 G,∵ AB = AC = 6 2,∠BAC = 90°,∴ BC = AB2 + AC2 = (6 2) 2 + (6 2) 2 = 12,∴ AG = BG = CG = 12 BC = 6,设 BD = x,则 EC = BC - DE - BD = 12 - 5 - x = 7 - x,由折叠得 DF = BD,EF = EC,在 Rt△DEF 中, DE2 = DF2 + EF2,∴ 52 = x2 + (7 - x) 2,解得 x = 3