13.最值问题-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·培优册

培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 13. 最值问题(10 年 6 考) 类 型 1　 建立二次函数模型确定最值(2023. 10) 例 1 　 如图,矩形 ABCD 的周长为 8,则该矩形面积的最大值为　 4　 . 例 1 题图 　 　 　 　 例 2 题图 【思路分析】设该矩形的边 AB = x,则由周长为 8 可得边 BC = 　 4 - x　 ,∴ 矩形的面积 S = AB·BC = 　 x(4 - x) = - x2 + 4x = - (x - 2) 2 + 4 　 ,根据二次函数的性质,当 x = 　 2 　 时,S 有最大值　 4　 ,即该矩形面积的最大值为　 4　 . 例 2 　 如图,在△ABC 中,BC = 6,BC 边上的高为 4,在△ABC 的内部作一个矩形 EFGD,使 EF 在 BC 边上,另外两个顶点分别在 AB,AC 边上,则对角线 EG 长的最小值为 　 . 【思路分析】EG 是矩形 EFGD 的对角线,可设矩形 EFGD 的边 GF = x,用含 x 的代数式表示 出另一边 EF 或 DG,再结合勾股定理用含 x 的代数式表示出 EG2,EG2 的最小值确定,EG 的最小值也确定. 已知 BC 边及边上的高,故可构建相似三角形来表示 EF 或 DG. 例 3 　 如图,在菱形 ABCD 中,AB = 6,∠B = 60°,矩形 PQNM 的四个顶点分别在菱形的四条边 上,AP = AQ = CM = CN,则矩形 PMNQ 的最大面积为　 9 3　 . 例 3 题图类 型 2　 利用几何模型确定线段最值 常用基本原理 原理 1　 垂线段最短(2022. 10) 问题:点 A 是直线 l 外一 点,在直线 l 上找一点 P, 使得 AP 长的值最小 作法: 例 4 　 (2022 合肥二模)如图,点 E,F 分别是正方形的边 AB,AD 上的动点,O 为对角线的交点, 连接 OE,OF,若 OE⊥OF,AB = 4,则 EF 的最小值为 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 3 B. 3 C. 2 2 D. 4 例 4 题图 93 培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 原理 2　 两点之间线段最短(2023. 10) 问题:定点 A,B 在直线 l 异侧,在直线 l 上找一点 P,使得 PA + PB 的值最小 作法: 例 5 　 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长,宽和高分别等于 5 cm,3 cm 和 1 cm,A 和 B 是 这个台阶的两个相对的端点,A 点上有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的食物. 这只蚂蚁从 A 点出发,沿着台阶面爬到 B 点,最短线路是　 13　 cm. 例 5 题图 模型 1　 “两点一线”差最大问题 类型 问题 作法 原理 点在线 同侧 两定点 A,B 位于直线 l 同侧,在直线 l 上找一 点 P,使得 |PA - PB |的 值最大 两 点 之 间 线 段 最短 点在线 异侧 两定点 A,B 位于直线 l 异侧,在直线 l 上找一 点 P,使得 |PA - PB |的 值最大 总结:异化同,延长定位置 两 点 之 间 线 段 最短 例 6 　 如图,在等边三角形 ABC 中,AB = 4,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 的中点,P 是 AC 边上 例 6 题图 一动点,则 BP - EP 的最大值是　 7　 . 例 7 　 如图,在正方形 ABCD 中,AB = 8,AC 与 BD 交于点 O,N 是 AO 的中点,点 M 在 BC 边上, 且 BM = 6. P 为对角线 BD 上一点,则 PM - PN 的最大值为　 2　 . 例 7 题图 04 培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 模型 2　 “将军饮马”及其引申问题(2023. 10,2019. 10,2017. 10) 问题 作法 原理 两定点 A,B 位于直线 l 同 侧,在直线 l 上找一点 P,使 得 PA + PB 的值最小(“将军 饮马”问题) 总结:同化异,连线定位置 两点之间线段最短 点 P 是∠AOB 内部一定点, 在 OA 上找一点 M,在 OB 上 找一点 N,使得△PMN 的周 长最小 两点之间线段最短 点 P 是 ∠AOB 内部 (或边 上)一定点,在 OA 上找一点 M,在 OB 上找一点 N,使得 PN +MN 的值最小 垂线段最短 点 P,Q 是∠AOB 内部的两 定点,在 OA 上找一点 M,在 OB 上找一点 N,使得四边形 PQNM 的周长最小 两点之间线段最短 例 8 　 如图,在菱形 ABCD 中