12.折叠问题-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·培优册

培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 12. 折叠问题(10 年 4 考) 例　 如图,点 E 在矩形 ABCD 的 AB 边上,将△ADE 沿 DE 翻折,点 A 恰好落在 BC 边上的点 F 处,若 CD = 3BF,BE = 4,则 AD 的长为　 15　 . 例题图 【思路分析】由矩形性质可得:AD = 　 BC 　 ,AB = 　 CD　 ,∠A = ∠EBF = ∠BCD =∠ADC = 　 90　 °. 由折叠性质可得:AD = 　 DF 　 ,AE = 　 FE 　 ,∠ADE = 　 ∠FDE 　 , ∠AED = 　 ∠FED　 ,∠DFE = 　 ∠A(或 90°) 　 ,△ADE≌　 △FDE　 ,连 接 AF,则 DE 垂直平分 AF. 易证△BEF∽　 CFD　 (一线三垂直相似),结合 CD = 3BF,得到 CF = 　 3 　 BE = 　 12 　 ,设 BF = x,则 CD = 　 3x 　 (用含 x 的代数式表示),DF = 　 x + 12 　 (用含 x 的代数式表示),在 Rt△CDF中,根据勾股定理得 CD2 + CF2 = DF2,即　 (3x) 2 + 122 = (x + 12) 2 　 ,解得　 x = 3 或 x =0(舍去) 　 ,∴ BF = 　 3　 ,∴ AD = 　 15　 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 针对练习 1. 如图,将等边三角形 ABC 纸片折叠,使得点 A 的对应点 D 落在 BC 边上,其中折痕分别 交边 AB, AC 于点 E,F,连接 DE,DF. 若 DF⊥BC,则∠AEF 的度数是 ( C ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. (2023 马鞍山市和县二模)如图,在正方形 ABCD 中,AB = 8,E 是 AB 的中点,F 是 BC 延长线上的一点,将△BEF 沿 EF 折叠得到 △GEF,连接 BG 并延长分别交 EF,AD于O,H 两点,若 GO =3GH,则 BF 的长为 ( A ) A. 4 6 B. 4 7 C. 8 + 3 D. 8 + 2 3. (2023 合肥模拟)如图,在矩形 ABCD 中,E 为 BC 边的中点,沿 DE 折叠矩形,点 C 落 在点 C′处,延长 DC′交 AB 于点 F,连接 BC′ 并延长交 AD 于点 G,连接 CC′. 给出以下结 论:① 四边形 BEDG 为平行四边形; ② ∠EC′C = ∠BC′F;③GC′ = GD;④C′为 BG 的中点. 其中正确结论的个数是 ( B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 3 题图 4. (2023 六安九下月考)如图,在△ABC 中, ∠ABC = 90°,AC = 5,BC = 3,点 D 为斜边 AC 的中点,连接 BD,将△BCD 沿 BD 翻折, 使 C 落在点 E 处,点 F 为直角边 AB 上一 点,连接 DF,将△ADF 沿 DF 翻折,使点 A 与点 E 重合,则: (1)∠BEF = 　 90°　 ; (2)AF 的长为　 　 　 　 . 第 4 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73 培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 5. (优质原创)如图,点 E,F 分别是矩形ABCD 边 CD,BC 上的动点,连接 EF,将△CEF 沿 EF 折叠,点 C 恰好落在 AB 边上的 C′处,已 知 AD 的长为 8. (1)若∠CEF = 30°,则 BF = 　 　 　 　 ; (2)若 CE = 10,折痕 EF 的长为　 5 5　 . 第 5 题图 6. (优质原创)如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是 AB 上一点,将△ADE 沿 DE 折叠,使点 A 落 在 BC 边上的点 F 处,点 G 是 DE 的中点, 连接 AG,FG. (1)连接 AF,则△AFG 是 　 等腰 　 三角形 (填“等腰”“等边”或“等腰直角”); (2)若 AD = 10,AB = 8,则 FG = 　 　 　 　 . 第 6 题图 7. (2023 黄山市黟县模拟)如图,在矩形ABCD 中,AB = 6,AD = 8,E 是边 BC 上一点,将 △ABE 沿直线 AE 折叠得到