11.全等、相似模型-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·培优册

培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 11. 全等、相似模型(10 年 6 考) 类 型 1　 一线三等角模型(2022. 14,2014. 9) 类型 已知条件 图形 结论 等角 在线 同侧 点 P 在线 段 AB 上, ∠1=∠2= ∠3 △ACP∽△BPD; 当 AC = BP(或 AP = BD 或 CP = PD)时, △ACP≌△BPD 等角 在线 异侧 点 P 在线 段 AB 的 延 长 线 上,∠1 = ∠2 =∠3 △ACP∽△BPD; 当 AC = BP(或 AP = BD 或 CP = PD)时, △ACP≌△BPD 【模型结论证明】 如图,点 P 在线段 AB 上,∠1 =∠2 =∠3. (1)证明:△ACP∽△BPD; (2)当 AC = BP 时,证明:△ACP≌△BPD. 证明:(1)∵ ∠CPB 是△ACP 的一个外角, ∴ ∠CPB = 　 ∠1 +∠C　 ,即∠2 +∠BPD = 　 ∠1 +∠C　 , 又∵ ∠1 =∠2,∴ 　 ∠C =∠BPD　 , ∵ 　 ∠1 =∠3　 ,∴ △ACP∽△BPD; (2)当 AC = BP 时,在△ACP 和△BPD 中, 　 ∠C =∠BPD　 , 　 AC =BP　 , 　 ∠1 =∠3　 , ì î í ï ï ï ï ∴ △ACP≌△BPD. 例 1 题图 例 1 　 (2023 滁州市南谯区一模)如图,在矩形 ABCD 中,E,F 分别为 BC,DC 上的点,AE = EF,AE⊥EF,若 BE = 3,矩形 ABCD 的周长为 26,则矩形 ABCD的面积为 　 40　 . 例 2 　 如图,已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形,D 在 BC 上,DE 与 AC 相交 于点 F,AB = 9,BD = 3,求 CF 的长. 例 2 题图 解:∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形,∴∠B =∠C =∠ADE =60°, ∴∠BAD +∠ADB =120°,∠ADB +∠FDC =120°, ∴∠BAD =∠FDC, 又∵∠B =∠C =60°,∴△ABD∽△DCF, ∴ABBD = CD CF,即 9 3 = 9 -3 CF ,解得 CF =2. 32 培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 例 3 　 如图,在▱ABCD 中,E 为边 BC 上的一点,F 为边 AB 上的一点. 若∠DEF =∠B,AB = 10, BE = 6,求EFDE的值. 　 例 3 题图 解:如解图,过点 D 作 DM =DC 交 BC 的延长线于点 M, ∴∠DCM =∠M, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴DM =CD =AB =10,AB∥CD,∴∠B =∠DCM =∠M, ∵∠FEC =∠DEF +∠DEC =∠B +∠BFE,∠B =∠DEF, ∴∠DEC =∠BFE,∴△BFE∽△MED,∴EFDE = BE DM = 6 10 = 3 5 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 针对练习 1. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC,过 点 B 作 BE⊥CE 于点 E,过点 A作 AD⊥CE 于 点 D,若 AD =7,CD =3,则 BD = 　 5　 . 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,在平面直角坐标系中, OA = AB, ∠OAB = 90°,反比例函数 y = kx ( x > 0)的 图象经过 A,B 两点. 若点 A 的坐标为(n, 1),则 k 的值为　 　 　 　 　 　 　 . 第 3 题图 3. 如图,在矩形 ABCD 中, AB = 4,BC = 5,E 为 CD 边上一点, 将 △BCE 沿 BE 折叠,使得 C 落到矩 形内点 F 的位置,连接 AF,若 tan∠BAF = 1 2 ,则 CE = 　 　 　 　 　 　 　 . 4. 如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 BC 的中 点,F 是 CD 上一点,已知∠AEF = 90°. 求 证:ECDF = 2 3 . 第 4 题图 证明:∵ 四边形 ABCD 是正 方形, ∴∠B =∠C =90°, ∴ ∠FEC + ∠EFC = 90°,∴ ∠AEB = ∠EFC, ∴ △ABE ∽△ECF, 5. 如图,△ABC 是等腰直角三角形,AB = AC, 点 D,E,F 分别在 AB,BC,AC 边上,DE⊥ DF,∠DEF = 45°,DF 的延长线与 BC 的延 长线相交于点 G. (1) 不添加辅助线,在图中找出一个与 △BDE 相似的三角形,并证明; (2)若 AD = 1,AF = 2,求 EC 的长. 第 5 题图 解:(1)△BDE∽△CEF. 证