9.构造直角三角形解决，√2、√3倍线段关系问题-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·培优册

培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 9. 构造直角三角形解决 2, 3倍线段关系问题(10 年 2 考) 类 型 1　 遇到 2构造等腰直角三角形[2020. 23(3),2015. 23(3)] 情形 图形及结论 已知 45°角 若无 45°角,常找直角 例 1 　 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC = BC,D 是边 AB 上一点,过点 A 作 AE⊥CD 于点 E,连接 BE. 若∠BED = 45°,求证:CE = 22 BE. 例 1 题图 证明:如解图,作 BF⊥CD 交 CD 的延长线于点 F, ∵BF⊥CD,AE⊥CD,∴∠CFB =∠AEC =90°, ∴∠CAE +∠ACE =90°, ∵∠ACB =90°,∴∠ACE +∠BCF =90°,∴∠CAE =∠BCF, ∵AC =CB,∴△ACE≌△CBF(AAS),∴CE =BF, ∵∠BED =45°,∠BFE =90°,∴△BEF 是等腰直角三角形, ∴BF = 22 BE,∴CE = 2 2 BE. 类 型 2　 遇到 3构造含 30°的直角三角形 情形 图形及结论 已知 30°角 91 培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 续表 情形 图形及结论 若无 30°角,常找直角 例 2 　 如图,在正方形 ABCD 中,点 M 在对角线 BD 上,且∠DCM = 30°,求证:BM = 3DM. 　 例 2 题图 证明:如解图,过点 M 作 ME⊥CD 于点 E,MF⊥BC 于点 F, ∵四边形 ABCD 是正方形,ME⊥CD,MF⊥BC, ∴∠BCD =∠CEM =∠CFM =90°, ∴四边形 MFCE 是矩形,∴EC =MF, ∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠CBD =∠CDB =45°, ∴DM = 2ME,BM = 2MF = 2CE, 在 Rt△CEM 中,∵∠DCM =30°,∴CE = 3ME, ∴BM = 2CE = 2 × 3ME = 3 × 2ME = 3DM,即 BM = 3DM. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 综合练习 1. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 3AD,点 E 为 CD 延长线上一点,连接 AE,过点 C 作 CF⊥ AE 于点 F,CF 交 AD 于点 H,连接 DF. 求 证:CF = 3AF + 2FD. 第 1 题图 证明:如解图,在线段 FC 上截取 FO,使 FO = 3AF,连接 AO,AC, ∵∠AFO =90°,FO = 3AF, ∴∠FAO =60°,AFAO = 1 2 , ∵四边形 ABCD 是矩形,∴CD =AB, ∵AB = 3AD,∴CD = 3AD, ∴∠DAC =60°,ADAC = 1 2 , ∴∠FAO =∠DAC,∴∠FAD =∠OAC, ∵AFAO = AD AC = 1 2 ,∴△FAD∽△OAC, ∴FDOC = AD AC = 1 2 ,∴OC =2FD, ∴CF =FO +OC = 3AF +2FD, 即 CF = 3AF +2FD. 2. 如图,在四边形 ABCD 中,∠BCD = 45°,对 角线 AC 与 BD 相交于点 E,且 AC⊥AB, BD⊥CD,分别延长 BA 与 CD 相交于点 F. 当△BCF 为锐角三角形时,求证:AC - AB = 2AD. 第 2 题图 证明:如解图,取 BC 的中点 O,连接 OA,OD, ∵AC⊥AB,BD⊥CD,O 为 BC 的中点, ∴OA =OB =OC =OD, ∴A,B,C,D 四点共圆,∴∠DAC =∠DBC, ∵BD⊥CD,∠BCD =45°, ∴∠DBC =45°,BD =CD,∴∠DAC =45°, 过点 D 作 DP⊥DA 交 AC 于点 P, ∴△ADP 是等腰直角三角形, ∴DA =DP,AP = 2AD, ∵∠ADP =∠BDC =90°,∴∠ADB =∠PDC, ∴△BAD≌△CPD(SAS),∴AB = PC, ∴AC =AP + PC = 2AD +AB, 即 AC -AB = 2AD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02 一战成名·安徽数学 　 培 优 册 ∴ AF = EF. 第 11 题解图① 　 　 第 11 题解图② 方法二:如解图②,延长 ED 至点 Q,使 DQ = DE,连