7.弦图模型&8.利用等面积法解题-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·培优册

培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 3. (2023 马鞍山市花山区二模) 如图, 在 △ABC 中, BD 平分 ∠ABC, 若 AD = BC, 2∠C = 180° + ∠A,则下列关于 AB,BC 的 关系描述正确的是 ( B ) A. AB > 2BC B. AB = 2BC C. AB < 2BC D. AB 与 2BC 的关系无法判断 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 如图,在等腰三角形 ABC 中,AB = AC = 8, BC = 4,BD 平分∠ABC,则 AD = 　 . 5. 如图,在 Rt△ABC 中,AB = AC,∠A = 90°, CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D,BE⊥CD 交 CD 的延长线于点 E. 求证:CD = 2BE. 第 5 题图 证明:如解图,延长 BE 交 CA 的延长线于点 F. ∵CE 平分∠ACB,∴∠ACE =∠BCE, 又∵∠CEF =∠CEB,CE =CE, ∴△FCE≌△BCE,∴EF =BE,即 BF =2BE. ∵ 在△ACD 和△EBD 中,∠CAD = ∠BED = 90°,∠ADC =∠BDE,∴∠ACD =∠EBD. 又∵AC =AB,∠CAB =∠BAF =90°, ∴△ACD≌△ABF,∴CD =BF,∴CD =2BE. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7. 弦图模型 【解题策略】勾股定理和三角形全等是解决弦图模型的重要工具. 已知条件 图形及辅助线 结论 在 正 方 形 ABCD 中, AE ⊥ BF, BF⊥CG,CG⊥DH,DH⊥AE △ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH; 四边形 EFGH 是正方形,边长 = AE - BE 在正 方 形 ABCD 中, AE = BF = CG = DH △AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH; 四边形 EFGH 是正方形 例　 如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是一个小正方形,这个图形是我国 汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图” . 如果图中勾 a = 3,弦 c = 5, 例题图 则小正方形的面积为 ( A ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 61 培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 针对练习 1. 如图,是由四个全等的直角三角形和一个 小正方形拼成的一个大正方形,若每个直 角三角形的面积为 4,大正方形的面积为 25,则小正方形的边长为 ( D ) A. 9 B. 6 C. 1 D. 3 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著 作《周髀算经》作注解时,用 4 个全等的直 角三角形和中间的小正方形拼成一个大正 方形,这个图被称为“赵爽弦图”,它体现了 中国古代数学的成就. 如图,已知大正方形 ABCD的面积是 100,小正方形 EFGH 的面 积是 4,那么 tan∠ADF 的值为 ( B ) A. 43 B. 3 4 C. 4 5 D. 3 5 3. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾 股定理,是我国古代数学的骄傲. 如图,设 直角三角形较长直角边长为 a,较短直角边 长为 b,若 ab = 8,大正方形的面积为 25,则 EF 的长为 ( C ) 第 3 题图 A. 9 B. 9 2 C. 3 2 D. 3 4. 如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示 意图,它由四个全等的直角三角形围成. 若 较短的直角边 BC = 2. 5,将四个直角三角形 中较长的直角边分别向外延长一倍,得到 图②所示的“数学风车”,若△BCD 的周长 是 15,则这个风车的外围周长是　 38　 . 图① 　 　 图② 第 4 题图 5. 将四个全等的直角三角形分别拼成正方形 (如图①②),边长分别为 6 和 2. 若以一个 直角三角形的两条直角边为边向外作正方 形(如图③),其面积分别为 S1,S2 . 则 S1 - S2 = 　 12　 . 图① 图② 图③ 第 5 题图 6. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作 《周碑算经》中,汉代数学家赵爽为了证明 勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦 图”,后人称之为“赵爽弦图” . 图②由弦图 变化得到,它是由八个全等的直角三角形 拼接而成. 记图中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为 S1, S2,S3 . (1)若 S1 = 25,S3 = 1