6.角平分线模型-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·培优册

培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 6. 角平分线模型 类 型 1　 双垂直构全等 已知条件 图形及辅助线 结论 P 是∠AOB 平分 线上一点,PM⊥ OA 于点 M PM = PN, OM = ON, △PMO≌△PNO 例 1 　 如图,已知在四边形 ABCD 中,DE⊥BC,BD 平分∠ABC,AB = 6,DE = 4,则△ABD 的面积 是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 例 1 题图 　 　 　 　 　 例 2 题图 类 型 2　 “三线合一”构等腰 已知条件 图形及辅助线 结论 P 是∠AOB 平分线上 一点,点 M 在 OA 上, MP⊥OP 于点 P PM = PN,△MON 是等 腰 三 角 形, △PMO≌△PNO 例 2 　 如图,在△ABC 中,DC 平分∠ACB,BD⊥CD 于点 D,∠ABD = ∠A,若 BD = 1,AC = 7,则 cos∠CBD 的值为 　 　 　 　 . 类 型 3　 “截长补短”构全等 已知条件 图形及辅助线 结论 截长法: △AED≌△ACD AD 平分∠BAC 补短法: △AFD≌△ABD 41 培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 例 3 　 (多解法)如图,在△ABC 中,AD平分∠BAC 交BC 于点D,且∠B =2∠C,求证:AB +BD =AC. 例 3 题图 证明:方法一:(截长法) 如解图①,在 AC 上截取 AE =AB,连接 DE, ∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD =∠DAC, 在△ABD 和△AED 中, AB =AE, ∠BAD =∠EAD, AD =AD, ì î í ïï ï ∴△ABD≌△AED(SAS), ∴∠B =∠AED,BD =DE, 又∵∠B =2∠C,∴∠AED =2∠C, 又∵∠AED =∠C +∠EDC,∴∠C =∠EDC, ∴DE =CE,∴AB +BD =AE +CE =AC, 即 AB +BD =AC. 方法二:(补短法) 如解图②,延长 AB 至点 F,使 AF = AC,连 接 DF, ∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD =∠DAC, 在△AFD 和△ACD 中, AF =AC, ∠FAD =∠CAD, AD =AD, ì î í ïï ï ∴△AFD≌△ACD(SAS),∴∠F =∠C, 又∵∠ABD =2∠C,∴∠ABD =2∠F, 又∵∠ABD =∠F +∠BDF,∴∠F =∠BDF, ∴BD =BF,∴AB +BD =AB +BF =AF =AC, 即 AB +BD =AC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 类 型 4　 作边或角平分线的平行线构等腰 已知条件 图形及辅助线 结论 C 是∠AOB 平分 线上一点 OD = CD,即△OCD 是 等腰三角形 OC 是 ∠AOB 的 平分线,D 是 OA 上一点 OE = OD,即△ODE 是 等腰三角形 例 4 题图 例 4 　 如图,已知∠AOB = 30°,P 是∠AOB 平分 线上一点,PC⊥OB,垂足为 C,若 PC = 2,则 OC 的长为 　 4 +2 3　 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 综合练习 1. 如图,△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,BE 是△ABD 边 AD 上的中线,若△ABC 的面积是 24,AB =5,AC =3,则△ABE 的面积是 ( C ) 第 1 题图 A. 15 B. 12 C. 7. 5 D. 6 2. 如图,点 P 在△ABC 内部,BP 平分∠ABC, AP⊥BP,连接 PC. 若△PBC 的面积为 1,则 第 2 题图 △ABC 的面积为 ( B ) A. 1. 5 B. 2 C. 3 D. 4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51 培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 3. (2023 马鞍山市花山区二模) 如图, 在 △ABC 中, BD 平分 ∠ABC, 若 AD = BC, 2∠C = 180° + ∠A,则下列关于 AB,BC 的 关系描述正确的是 ( B ) A. AB > 2BC B. AB = 2BC C. AB < 2BC D. AB 与 2BC 的关系无法判断 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 如图,在等腰三角形