4.二次函数含参问题-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·培优册

培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 3. (2023 六安市霍邱县二模)如图,正方形 ABCD 一边 AB 在直线 l 上,P 是直线 l 上点 A 左侧的一点,AB = 2PA = 4,E 为边 AD 上 一动点,过点 P,E 的直线与正方形 ABCD 的边交于点 F,连接 BE,BF,若设 DE = x, △BEF 的面积为 S,则能反映 S 与 x 之间函 数关系的图象是 ( B ) 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 如图,在等腰直角三角形纸片 ABC 中,底边 BC 的长为 8 cm,边长为 4 cm 的正方形纸 片 DEFG 的边 DG 在直线 BC 上,设 BD 的 长为 x cm,两个纸片重叠部分的面积为 y cm2,则表示 y 与 x 之间函数关系的图象 大致是 ( A ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4. 二次函数含参问题(10 年 5 考) 类 型 1　 增减性与比较大小问题 例 1 　 (2023 淮南市凤台县三模节选)已知(x1,y1),(x2,y2)是二次函数 y = ax2 + (a +1)x(a >0) 图象上两个不同的点.当 x1 > x2≥-3 时,恒有 y1 > y2,则实数 a 的取值范围是 　 . 【思路分析】抛物线的对称轴是直线 x = 　 　 　 　 　 　 ,∵ a > 0,当 x1 > x2≥ -3 时,恒有 y1 > y2,∴ ( x1, y1 ), ( x2, y2 ) 均 位 于 抛 物 线 对 称 轴 的 　 右 　 ( 填 “ 左” 或 “ 右”) 侧, ∴ 　 　 　 　 　 　 , a > 0,{ 解得　 　 　 　 　 　 ,∴ 实数 a 的取值范围是　 　 　 　 　 　 . 类 型 2　 最值问题[2021. 14(2),2020. 22(3),2019. 22(2)] 例 2 　 【轴定区间定】已知二次函数 y = mx2 - 4mx(m 为不等于 0 的常数),当 - 2≤x≤3 时,函 数 y 的最小值为 - 2,则 m 的值为　 　 　 　 　 　 . 【思路分析】二次函数的对称轴为直线 x = 　 2 　 ,顶点坐标为　 (2, - 4m) 　 . 根据抛物线 开口方向分情况讨论:当 m > 0 时,在 - 2≤x≤3 内,当 x = 　 2 　 时,函数有最小值, ∴ 　 -4m = -2　 ,解得 m = 　 　 　 ;当 m < 0 时,在 - 2≤x≤3 内,当 x = 　 - 2 　 时,函数 有最小值,∴ 　 4m +8m = -2　 ,解得 m = 　 　 　 　 　 　 . 综上所述,m 的值为 　 . 7 培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 例 3 　 【轴动区间定】—例题及方法指导链接《基础夯实练》P54 - P55 变式 例 4 　 【轴定区间动】已知二次函数 y = x2 + 4x. 当 - 5≤x≤n 时,y 的最大值与最小值之和为 2, 则 n 的值为 　 -3 或 10 -2　 . 【思路分析】二次函数 y = x2 + 4x 图象的对称轴为直线 x = 　 - 2 　 ,最小值为　 - 4 　 ,点 ( - 5,5)关于对称轴的对称点为　 (1,5) 　 . 根据对称轴和区间的位置关系分类讨论:当 - 5≤n < - 2 时,如解图①,y 在 x = 　 - 5 　 处取得最大值　 5 　 ,y 在 x = 　 n　 处取得最 小值　 n2 + 4n 　 ,根据题意得 　 n2 + 4n + 5 = 2 　 ,解得 　 n = - 3 或 n = - 1(舍去) 　 , ∴ n = 　 -3　 ;当 - 2≤n≤1 时,如解图②,y 在 x = 　 - 5 　 处取得最大值　 5 　 ,y 在 x = 　 -2　 处取得最小值　 -4 　 ,∴ 最大值 + 最小值 = 　 5 + ( - 4) = 1 　 ,不符合题意;当 n > 1 时,如解图③,y 在 x = 　 n　 处取得最大值　 n2 + 4n　 ,y 在 x = 　 - 2 　 处取得最小 值　 -4　 ,根据题意得　 n2 +4n +( -4) =2　 ,解得　 n = 10 -2或 n = - 10 -2(舍去)　 , ∴ n = 　 10 -2　 .综上所述,n 的值为　 -3或 10 -2　 . 图① 　 　 图② 　 　 图③ 例 4 题解图 类 型 3　 交点问题