1.规律探索&2.二次三项式ax2+bx+c-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·培优册

培优册·安徽数学 模块一　 模型、方法篇　 　 　 　 　 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 1. 规律探索(必考) 类 型 1　 数式规律探索(2022. 18,2020. 17,2019. 18,2018. 18,2015. 13,2014. 16) 例 1 　 (2022 安徽 18 题 8 分)观察以下等式: 第 1 个等式:(2 × 1 + 1) 2 = (2 × 2 + 1) 2 - (2 × 2) 2, 第 2 个等式:(2 × 2 + 1) 2 = (3 × 4 + 1) 2 - (3 × 4) 2, 第 3 个等式:(2 × 3 + 1) 2 = (4 × 6 + 1) 2 - (4 × 6) 2, 第 4 个等式:(2 × 4 + 1) 2 = (5 × 8 + 1) 2 - (5 × 8) 2, …… 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第 5 个等式:　 (2 ×5 +1) 2 = (6 ×10 +1) 2 - (6 ×10) 2 　 ; (2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示),并证明. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 【解题方法】对于数式规律探索题,求第 n 个等式或式子,具体步骤如下: 第一步:观察给出的等式或式子(计算出已给式子的结果); 第二步:标序数:记每个等式或式子的序数为“1,2,3,4,…,n”; 第三步:将等式左边、右边的每项用含序数的式子表示出来; →例 1 中:第 1 个等式:(2 × 1 + 1) 2 = [(1 + 1) × (2 × 1) + 1] 2 - [(1 + 1) × (2 × 1)] 2,第 2 个等式:(2 × 2 + 1) 2 = [(2 + 1) × (2 × 2) + 1] 2 - [(2 + 1) × (2 × 2)] 2,第 3 个等式:(2 × 3 + 1) 2 = [(3 + 1) × (2 × 3) + 1] 2 - [(3 + 1) × (2 × 3)] 2,第 4 个等式:(2 × 4 + 1) 2 = 　 [(4 + 1) × (2 × 4) + 1] 2 - [(4 +1) × (2 ×4)] 2 　 ,……; 第四步:分析对比所得的结果,从结果与序数或结果与所给数式中数字的构成、个数两方面 进行对比,寻找不变量及变化量之间的变化关系,从而得到结果与各等式或式子之间满足 的关系式,求第 n 个等式或式子时直接套用关系式即可. 【自主解答】 解:(2)第 n 个等式:(2n +1) 2 = [(n +1) ×2n +1] 2 - [(n +1) ×2n] 2, 证明:左边 =4n2 +4n +1, 右边 = [(n +1) ×2n] 2 +2 × (n +1) ×2n +12 - [(n +1) ×2n] 2 =4n2 +4n +1, ∴左边 =右边,等式成立. 类 型 2　 图形规律探索(2023. 18,2021. 18,2017. 19,2016. 18) 例 2　 (2023 安徽 18 题 8 分)【观察思考】 例 2 题图 1 培优册·安徽数学 模 块 一 模 型 ︑方 法 篇 【规律发现】 请用含 n 的式子填空: (1)第 n 个图案中“ ”的个数为 　 3n　 ; (2)第 1 个图案中“ ”的个数可表示为1 × 22 ,第 2 个图案中“ ”的个数可表示为 2 × 3 2 ,第 3 个图 案中“ ”的个数可表示为3 × 42 ,第 4 个图案中“ ”的个数可表示为 4 × 5 2 ,……,第 n 个图案中 “ ”的个数可表示为　 　 　 　 　 　 　 　 . 【规律应用】 (3)结合图案中“ ”的排列方式及上述规律,求正整数 n,使得连续的正整数之和 1 + 2 + 3 +… + n 等于第 n 个图案中“ ”的个数的 2 倍. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋