第4.1讲 新结构题型中第18题考点预测之导数综合-备战2024年高考数学高频考点必刷题型精讲+精练（新高考通用）

2024年高考数学高频考点必刷题型精讲+精练（新高考通用） 第4.1讲 新结构题型中第18题考点预测之导数综合 本节题目专门针对新结构题型的第18题（17分），难度系数困难 ①导数恒能成立问题 ②导数与函数零点问题 ③导数解决双变量问题 ④导数中的极值点偏移问题 题型一：导数恒能成立问题 【例1】（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知函数． (1)试讨论的单调性； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 【分析】（1）求出的导函数，讨论与0的大小关系即可求解； （2）由题意可得，设，当时，利用放缩、构造函数、求导可知满足题意；当时，证明在上有唯一的零点即可. 【详解】（1）的定义域为， 当时，在上单调递增； 当时，， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，在上单调递减． 当时，， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，在上单调递减. 综上所述，时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题意，即为， 设， ①当时，， 设， 则， 设，则， 所以在上单调递增， 又，所以恒成立，即， 又，所以在上恒成立，从而在上单调递增， 因为，所以，又，所以，满足题意； ②当时，， 设， 则， 因为当时，，所以恒成立， 故在上单调递增， 设，则， 所以在上单调递增， 又，所以恒成立，即，从而， 所以当时，必有， 又，所以在上有唯一的零点，且当时，， 从而在上单调递减，结合知当时，， 所以在上不能恒成立，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是． 【例2】（2023·湖南郴州·模拟预测）已知且在上单调递增，. (1)当取最小值时，证明恒成立. (2)对，，使得成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）首先利用条件可得在恒成立，参变分离后可得，代入后构造函数解不等式即可； （2）根据题意只需不等式左边的最小值小于等于右边的最小值即可，利用导数即可求得在上的最小值为，即证，使得成立， 即成立，参变分离后再构造函数即可得解. 【详解】（1）由题意可知在上恒成立， 参变分离得，， 此时. 设， ， 令，令， 在上单调递增，在上单调递减. 恒成立， （2）， 当时，，， 在单调递增； 当时，，， 在单调递减； ，，， 在上的最小值为. 易知为偶函数，由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为 由题意可得，使得成立， 即成立. 由（1）可知， 参变分离得，设，， 即只需即可. 由（1）知得， 令，令， 在上单调递减，在上单调递增.， ，又已知.故的取值范围为. 一、解答题 1．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数和． (1)讨论与的单调性； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 2．（2024·广东·模拟预测）已知函数，. (1)求证：当，； (2)若，恒成立，求实数的取值范围. 3．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是自然对数的底数，. (1)当时，求函数的零点个数； (2)当时，证明：； (3)证明：若，则. 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数和函数有相同的最大值. (1)求a的值； (2)设集合，（b为常数）.证明：存在实数b，使得集合中有且仅有3个元素. 5．（2023·上海·模拟预测）已知函数，其导函数为， (1)若函数有三个零点，且，试比较与的大小. (2)若，试判断在区间上是否存在极值点，并说明理由. (3)在（1）的条件下，对任意的，总存在使得成立，求实数的最大值. 6．（2023高三·全国·专题练习）已知函数. (1)求证； (2)是否存在实数k，使得只有唯一的正整数a，对于恒有：，若存在，请求出k的范围以及正整数a的值；若不存在请说明理由.（下表的近似值供参考） ln2 ln3 ln4 ln5 ln6 ln7 ln8 ln9 0.69 1.10 1.38 1.61 1.79 1.95 2.07 2.20 7．（2023·浙江温州·模拟预测）已知函数． (1)若函数有两个极值点，求整数a的值； (2)若存在实数a，b，使得对任意实数x，函数的切线的斜率不小于b，求的最大值． 8．（22-23高三上·安徽·阶段练习）若存在且使成立，则在区间上，称为的“倍扩张函数”．设，若在区间上为的“倍扩张函数”． (1)求实数的取值范围； (2)证明：与的图象存在两条公切线． 9．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，． (1)当时，求证：； (2)函数有两个极值点，，其中，求证：． 10．（2024·广西南宁·一模）已知函数． (1)若，求的值； (2)当时，证明：． 题型二：导数与函数零点问题 【例1】（23-24高三上·湖北·期中）已知，曲线：与：没有公共点. (1)求的取值范围； (2)设一条直线与，分别相切于点，.证明： （i