（19题模式）2023-2024学年高一数学下学期3月份月考（范围：平面向量）

2023—2024年高一下学期3月份月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5．考试范围：平面向量 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．设点是正三角形的中心，则向量，，是　　 A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 2．在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为　　 A． B．或 C． D． 3．设，是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，在边长为2的菱形中，，点，分别在边，上，且，若，则　　 A． B． C．1 D． 5．已知等边的边长为6，在上且，为线段上的动点，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 6．如图，、两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为　　 A． B． C． D． 7．的内角，，的对边分别为，，，，，，点，分别是边，的中点，且，交于点，则四边形的面积为　　 A． B． C． D． 8．已知平面向量，，满足对任意都有，成立，，，则的值为　　 A．1 B． C．2 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设，则　　 A． B． C．若，则 D．在上的投影向量为 10．在中，角、、的对边分别为、、，且，，则以下四个命题中正确的是　　 A．满足条件的不可能是直角三角形 B．面积的最大值为 C．当时，的内切圆的半径为 D．若为锐角三角形，则 11．正方形的边长为2，是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则　　 A．最大值为 B．最大值为1 C．的最大值为 D．最大值是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 　　． 13．已知向量，满足，且，则向量与的夹角是 　　． 14．如图所示，三个边长为4的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有100个不同的点，，，，记，，2，，100，则　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在平行四边形中，，，，，相交于点，为中点．设向量，． （1）求的值；（2）用，表示；（3）求，的值． 16．（15分） 在中，内角，，的对边分别为，，，且，且边上的高等于． （1）求角的值； （2）若的面积为18，求边的长． 17．（15分） 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米． （1）求线段的长度； （2）若，求两条观光线路与之和的最大值． 18．（17分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”． 在中，试解决以下问题： （1）是三角形的重心（三条中线的交点），过点作一条直线分别交，于点，． （ⅰ）记，，请用，表示； （ⅱ），，求的最小值． （2）已知点是的____，且，求． 请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答． ①外心（三条垂直平分线的交点）； ②垂心（三条高的交点）． 19．（17分）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设，，，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如为，，，四点的交比，记为，；，． （1）证明：； （2）若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点