压轴题05 圆的综合（5题型+解题模板+技巧精讲）-2024年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

压轴题 05 圆的综合 目 录 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 题型一 切线的判定 题型二 圆中求线段长度 题型三 圆中的最值问题 题型四 圆中的阴影部分面积 题型五 圆中的比值（相似）问题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 题型解读： 圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高．多考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点，以及数形结合、整体代入等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①切线的判定；②计算线段长及证明线段比例关系；③求三角函数值；④利用“辅助圆”求最值.右图为圆的综合问题中各题型的考查热度. 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度. 题型一 切线的判定 解题模板： 技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°，如已有90°角，可以尝试证平行） 没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等） 【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．    【变式1-1】（2023-辽宁-中考真题）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．    求证：与相切； 【变式1-2】（2023-辽宁-中考真题）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．    (1)求证：EF与相切； (2)若，求的长． 【变式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．    (1)求证：是的切线； 题型二 圆中求线段长度 解题模板： 【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知为的直径，点C为圆上一点，垂直于过点C的直线，交于点E，垂足为点D，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式2-1】（2023-内蒙古-中考真题）如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：为⊙的切线； (2)若，，求的长． 【变式2-2】（2023-辽宁大连-中考真题）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点E．    (1)求的度数； (2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，，求的长． 【变式2-3】（2023-湖北恩施-中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 题型三 圆中的最值问题 解题模板： 技巧精讲： 1、 辅助圆模型 【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在中，为直径，C是上一点，.过O分别作于点H，于点D，点E、F分别在线段上运动（不含端点），且保持．    (1)______；四边形是______（填矩形/菱形/正方形）； ______； (2)当F和D不重合时，求证：； (3)①在图1中，是的外接圆，设面积为S，求S的最小值，并说明理由； ②如图2：若Q是线段上一动点，且，，是四边形的外接圆，则当n为何值时，的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案． 【变式3-1】（2023-安徽-模拟预测）如图，半圆的直径，弦，连接． (1)求证：； (2)当的面积最大时，求的度数． 【变式3-2】（2023-四川-中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 【变式3-3】（2023-陕西西安-模拟预测）【问题情境】 如图，在中，，，，则的外接圆的半径值为______； 【问题解决】 如图，点为正方形内一点，且，若，求的最小值； 【问题解决】 如图，正方形是一个边长为的书展区域设计图，为大门，点在边上，，点是正方形内设立的一个活动治安点，到、的张角为，即，点、为另两个固定治安点，现需在展览区域内部设置一个补水供给点，使得到、、三个治安点的距离和最小，试求的最小值．（结果精确到，参考数据，）    题型四 圆中的阴影部分面积 技巧精讲： 【例4】（2024-西藏拉萨-一