2.7导数的应用（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

2.7导数的应用 考点01：面积体积最大值 1．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克. （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大. 2．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为 (单位：万元)，成本函数为 (单位：万元)． (1)求利润函数；(提示：利润＝产值－成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ 考点02：利润最大值 3．某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设的长为毫米.（注：，其中为球半径，为圆柱底面积，为圆柱的高） （1）求容器中防蚊液的体积关于的函数关系式； （2）如何设计与的长度，使得最大？ 4．某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图所示）．市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆．建立图所示的平面直角坐标系，函数的图象由曲线段和直线段构成，已知曲线段可看成函数的一部分，直线段（百米），体育馆平面图形为直角梯形（如图所示），，．（参考数据：）    (1)求函数的解析式； (2)在线段上是否存在点，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点到原点的距离；若不存在，请说明理由． 考点03：成本最小问题 5．某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式． (2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：） 6．由于多种因素影响，某地猪肉价格节节攀升，该地方政府为落实“迅速采取有力措施稳定生猪生产，确保猪肉供应和市场基本稳定”这一重要指示，决定对宰杀生猪的定点厂家提供政府补贴，平衡猪肉的市场价格.设猪肉的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克，根据市场调查，当时，猪肉市场日供应量万千克近似地满足关系：，日需求量万千克近似地满足关系：已知猪肉市场价格为26元/千克时，日需求量为13.2万千克，定义猪肉市场日供应量与日需求量相等时的市场价格为猪肉市场的平衡价格. （1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出该函数的值域； （2）为使市场的平衡价格不高于28元/千克，政府补贴应至少为每千克多少元？ 考点04：用料最省问题 7．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数． (1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围； (2)随着x的变化，y的变化有何规律？ (3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？ 8．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数． (1)写出关于的函数解析式，确定的取值范围． (2)堆料场的长、宽之比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？ 1．某箱子的容积与底面边长的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（    ） A． B． C． D．其他 2．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额函数是（x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．6万斤 B．8万斤 C．3万斤 D．5万斤 3．已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成，两个圆锥的顶点分别为，，底面半径为．若，则该几何体的体积最大时，以为半径的球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20的大⊙O上，点M，N在半径为10的小⊙O上，点O，P在弦MN的同侧.