2.7 导数的应用 同步练习-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.7导数的应用同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知定义在上的函数，满足：；（其中是的导函数，是自然对数的底数），则的范围为（　　） A． B． C． D． 2．已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则当该圆柱的体积取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 3．函数的部分图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   4．已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（    ） A． B． C． D． 5．对一个质地均匀的实心圆锥体工件进行加工，已知该工件底面半径为12cm，高为8cm，加工方法为挖掉一个与该圆锥体工件同底面共圆心的内接圆柱.若要使加工后工件的质量最轻，则圆柱的半径应设计为（    ） A． B． C． D． 6．如图，正方形的中心与正方形的中心重合，正方形的面积为2，截去如图所示的阴影部分后，将剩下的部分翻折得到正四棱锥(A，B，C，D四点重合于点M)，当四棱锥体积达到最大值时，图中阴影部分面积为（    ）    A． B． C． D． 7．在函数的图象与x轴围成的封闭图形内作一内接矩形ABCD，则可作矩形的最大面积为（    ）    A． B． C． D．27 8．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”--图书馆，建设高水平､现代化､开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（    ）        A．2 B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，关于的方程，下列正确的是（   ） A．存在使得方程恰有2个不相等的实根 B．存在使得方程恰有3个不相等的实根 C．存在使得方程恰有4个不相等的实根 D．存在使得方程恰有5个不相等的实根 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数有两个不同的零点 B．存在实数，使得函数的图象与轴没有交点 C．函数的图象关于直线对称 D．若函数有四个不同的零点，则 11．非零实数满足，则下列叙述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 12．你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（    ）（注：；利润可为负数） A．利润随着瓶子半径的增大而增大 B．半径为6cm时，利润最大 C．半径为2cm时，利润最小 D．半径为3cm时，制造商不获利 三、填空题 13．在边长为2的等边三角形中，点（与不重合）在边上，于点，将沿折起，连接，得到四棱锥，则四棱锥的体积的最大值为 ． 14．若函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 15．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为.现已知相距18km的，两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，，它们连线段上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设.若，且时，取得最小值，则的值为 . 16．如图所示，某小区有一半径为，圆心角为的扇形空地.现欲对该地块进行改造，从弧上一点向引垂线段，从点向引垂线段.在三角形三边修建步行道，则步行道长度的最大值是 .在三角形内修建花圃，则花圃面积的最大值是 .    四、解答题 17．已知函数 ， ， ． (1)当 时，讨论函数在区间 上的单调性． (2)设是函数的最大值．求出的表达式并比较 与的大小． 18．已知函数. (1)若为奇函数，求此时在点处的切线方程； (2)设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点. （i）求函数的极值； （ii）若，且，求实数的取值范围. 19．已知函数． (1)若对于任意恒成立，求a的取值范围； (2)若函数的零点按照从大到小的顺序构成数列，，证明：； (3)对于任意正实数，证明：． 20．某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中． (1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、