（练习）课时分层作业19 导数的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(十九)　导数的应用 一、选择题 1．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示(　　) A．t＝1 s时的速度　 B．t＝1 s时的加速度 C．t＝1 s时的位移　 D．t＝1 s的平均速度 B　[v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度，故选B．] 2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积为最大，则其高应为(　　) A． cm　　 B． cm C．10 cm D．5 cm A　[设圆锥底面半径为r，高为h，则h2＋r2＝202， ∴r＝ ， ∴圆锥体积V＝πr2h＝π(400－h2)h ＝π(400h－h3)， 令V′＝π(400－3h2)＝0得h＝，当h＜时，V′＞0； 当h＞时，V′＜0． ∴h＝时，V最大．] 3．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是(　　) A．6　　　　B．9　　　C．9π　　　D．6π D　[∵S′＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π．] 4．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是(　　) A．7 m/s　 B．6 m/s C．5 m/s　 D．8 m/s C　[s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5．] 5．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为(　　) A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的位移 C　[由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．] 二、填空题 6．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝________，其实际意义是________． [答案]　4　边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度 7．某汽车的路程函数是s＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是________m/s2． 14　[∵v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，∴a(t)＝v′(t)＝12t－g， ∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．] 8．一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示．当x为________时，正三棱柱的体积最大，其最大值是________． 　　[V(x)＝(a－2x)2x，V′(x)＝(2x－a)(6x－a)， 令V′(x)＝0，得x＝，所以V(x)max＝．] 三、解答题 9．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． [解]　(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2． (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f (x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6． 从而，f ′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)， 于是，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： x (3，4) 4 (4，6) f ′(x) ＋ 0 － f (x) ↗ 极大值42 ↘ 由上表可得，x＝4是函数f (x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点， 所以，当x＝4时，函数f (x)取得最大值，且最大值等于42． 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 10．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)． (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问：x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问：x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [解]　设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)． 由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30． (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当x＝15时，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)． 由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20． 当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0． 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为． 11．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图象大致为(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D A　[由题意知y＝S(t)为增函数，所以S′(t)＞0，排除B选项；当五角星刚好浮出一个角时，函数y＝S(t)的图象在这一时刻不连续，由此知选A．] 12．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f (x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　) A．8　　　　B．　　　　C．－1　　　　D．－8 C　[原油温度的瞬时变化率为f ′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1．] 13．(多选题)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 ，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，则下列结论正确的是(　　) A．k＝40　 B．f (x)＝＋6x(0≤x≤10) C．前5年能源消耗费用之和在增加，后5年能源消耗费用之和在减少 D．当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值 ABD　[由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8得，k＝40， 因此C(x)＝，而建造费用为C1(x)＝6x． 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)． f ′(x)＝6－，令f ′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5，x＝－(舍去)． 当0<x<5时，f ′(x)<0，当5<x<10时，f ′(x)>0， 故x＝5是f (x)的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋＝70． 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．] 14．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台，最大利润是________万元． 6　216　[设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)， ∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)． 令y′＝0，解得x＝0或x＝6， 经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． ∴最大利润是216万元．] 15．如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(图中阴影部分)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来，使剩余部分成一个五边形，若AB＝1米，AD＝0.5米，问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大？ [解]　由题设知，边缘线OM是以点D为焦点，以直线AB为准线的抛物线的一部分．以O点为原点，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D，M， 所以边缘线OM所在抛物线的方程为： y＝x2． 要使五边形ABCEF的面积最大， 则必有EF所在直线与抛物线相切，设切点为P(t，t2)，则直线EF的方程为：y＝2t(x－t)＋t2，即y＝2tx－t2， 由此可求得点E，F的坐标分别为，(0，－t2)， 所以S△DEF＝··＝·， t∈，设f (t)＝S△DEF， 则f ′(t)＝·＝＝， 显然，函数f (t)在上是减函数，在上是增函数， 所以当t＝时，S△DEF取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大． 此时，点E，F的坐标分别为，，即沿直线EF画线段切割，可使五边形ABCEF的面积最大． 3/7 学科网（北京）股份有限公司 $$