专题17.2 根的判别式与含参问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题17.2 根的判别式与含参问题 · 思想方法 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. · 典例分析 【典例1】若关于的方程恰有三个根，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【思路点拨】 先化简绝对值方程为两个一元二次方程①和②，再分三种情况讨论：（1）方程①有两个不相等的实根，方程②有等根；（2）方程②有两个不相等的实根，方程①有等根；（3）两个方程均有两个不相等的实根，且两个方程恰有一个相同的根．针对每种情况分别利用根的判别式列出方程或不等式求解并验证，即可得到答案． 【解题过程】 解：， 或， 整理得①或②， 设方程①的判别式为，方程②的判别式为， 若原方程恰有三个根，则有三种可能： （1）， ， ， 此时，， 或， 解得，或， 满足题意的t的值是； （2）， ， ， 当时，， 或， 解得，或， ， ， 但，不满足题意，舍去； （3），且两方程恰有一个相同的根， ， ， 设相同的根为， 则， 解得，， 当时，， 解得或或，符合题意； 当时，， 解得或或， 但此时，三个解均不合题意，舍去； 综上所述，的值为或． 故选B． · 学霸必刷 1．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的方程有且只有一个根（相同的两个根视为一个根），则的值为（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法正确的（　　） ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③ 4．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 5．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 6．（23-24九年级上·重庆南川·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，且关于y的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 7．（23-24九年级上·重庆巴南·阶段练习）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于x的方程有解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 8．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）若关于的方程有三个解，则实数的值是 ． 9．（23-24九年级上·重庆潼南·阶段练习）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是 若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 10．（22-23九年级上·山东聊城·期末）当是什么整数时，关于的一元二次方程与的解都是整数？ 11．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）已知关于的方程有四个不同的实数根，求的取值范围． 12．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 13．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． （1）判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； （2）已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值． 14．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于的一元二次