精品解析：江苏省镇江市2023-2024学年高三下学期期初考试数学试卷

2023~2024学年度第二学期高三期初试卷 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则分位数是（ ） A. 18 B. 20 C. 21 D. 22 2. 已知复数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 在中，，且的面积为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 已知平面内向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前5项的和为（ ） A B. C. 5 D. 25 7. 已知，则值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，为中点，过作轴垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，若，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，使得成立” B. 若命题“，恒成立”为真命题，则 C. “”是“方程有实数解”的充分不必要条件 D. 若命题“，”为真命题，则 10. 正方体的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合，则（ ） A. 中元素的个数为58 B. 中每个四面体的体积值构成集合，则中的元素个数为2 C. 中每个四面体的外接球构成集合，则中只有1个元素 D. 中不存在四个表面都是直角三角形四面体 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的最小值是 C. 存在唯一实数，使得是偶函数 D. 在上有3个极大值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与圆和圆都相切直线方程是______． 13. 已知是圆锥的底面直径，是底面圆周上的一点，，则二面角的余弦值为______． 14. 如果函数在区间上为增函数，则记为，函数在区间上为减函数，则记为．已知，则实数的最小值为______；函数，且，则实数______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，，，，为圆的内接正三角形. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 为了释放学生压力，某校进行了一个投篮游戏．甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛每人各投一次为一轮．每人投一次篮，两人中只有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮结果互不影响． （1）经过1轮投篮，记甲的得分为，求的分布列及数学期望； （2）用表示经过第轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求． 17. 已知函数． （1）判断函数在区间上极值点和零点的个数，并给出证明； （2）若恒成立，求实数． 18. 已知双曲线的两条渐近线分别为上一点到的距离之积为． （1）求双曲线的方程； （2）设双曲线的左、右两个顶点分别为为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，直线与轴的交点为，直线与的交点为，证明． 19. 对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． （1）数列是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？ （2）请用表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）； （3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前项和为； （4）某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角