数列全真试题专项解析-【数理报·抢分计划】2024年新高考数学题型解析冲击训练

书 一、透析数列及其通项公式 该部分知识点的基本应用主要有：１．用函数的观 点认识数列；２．根据通项公式写出数列的任意一项； ３．利用递推公式写出数列的前几项（高考对递推数列 仅要求能根据递推关系写出前几项，故应适当控制难 度）．求数列的通项公式，要注意多观察，多实验，敢猜 想，勤归纳，勤验证．若已知Ｓｎ求ａｎ，一定要注意ｎ＝１ 的情况．该部分内容在高考中一般不单独命题，但用归 纳法写出一个数列的通项公式，却能培养同学们观察、 分析和解决问题的能力，故应引起重视． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　二、透析等差数列 １．学习等差数列的基本公式，要从公式的顺用、逆 用、变式等多角度地去掌握． ２．要深刻理解等差数列的定义及其等价形式，熟 练运用通项公式和求和公式． ３．判断一个数列是否为等差数列，不能只验证数 列的前几项，需要根据定义证明ａｎ＋１－ａｎ＝常数，也可 以证明其等价形式２ａｎ＝ａｎ－１＋ａｎ＋１．特别地，在判定三 个实数ａ，ｂ，ｃ成等差数列时，常用ａ＋ｃ＝２ｂ．等差数列 的通项公式与前ｎ项和公式联系着五个基本量，“知三 求二”是一类最基本的运算题．在已知三数成等差数 列时，可设三个数依次为ａ，ａ＋ｄ，ａ＋２ｄ或ａ－ｄ，ａ，ａ＋ ｄ，使许多问题能够得到迅速准确地解决． 等差数列考查的题型既有选择题、填空题，又有解 答题；既有容易题、中等题，也有难题．客观题突出“小 而巧”，主要考查性质的灵活运用及对概念的理解；主 观题突出“大而全”，着重考查函数与方程、分类与整合 等重要的数学思想． 三、透析等比数列 １．学习等比数列的基本公式，也要从公式的顺用、 逆用、变形等多角度地去掌握． ２．学习等比数列，要对照等差数列来进行，切实把 握它们之间的区别，深刻理解等比数列的定义及其等 价形式，熟练运用通项公式和求和公式． ３．比较法是理解和掌握两类数列的定义、通项公 式及中项公式、前ｎ项和公式的重要方法．判定一个数 列是等比数列，不能只验证数列的前几项，需要根据定 义证明 ａｎ＋１ ａｎ ＝常数，也可以证明其等价形式 ａ２ｎ ＝ ａｎ－１ａｎ＋１．特别地，在判定三个数 ａ，ｂ，ｃ成等比数列时， 常用ａｃ＝ｂ２．两类数列的通项公式与前 ｎ项和公式联 系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算 题．函数与方程的观点是解决这类问题的基本数学思 想．在已知三数成等比数列时，可设三个数依次为 ａ， ａｑ，ａｑ２，也可设为 ａｑ，ａ，ａｑ，从而使许多实际问题能够 得到迅速准确地解决． 等比数列的定义、判定、通项公式及前ｎ项和公式 的探求以及等比数列性质的应用是历年高考的必考内 容，考查形式类似于等差数列，考查题型既有基础题， 也有与等差数列、函数、方程、解析几何等知识有关的 综合题． 四、透析数列综合问题 １．等差数列与等比数列综合 （１）等差、等比数列性质的综合、灵活运用是解数 列综合题的关键，不仅要熟练记忆而且要有应用意识． （２）函数与方程、化归与转化、分类与整合是解决 数列综合问题的重要数学思想，特别要学会利用函数 的观点动态研究数列，揭示运动变化规律，顺利实现函 数、数列、不等式的联系与转化． ２．数列与函数、方程、不等式综合 （１）涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试 题，在解题过程中通常用到函数与方程、化归与转化、 分类与整合等数学思想，属于中、高档难度的题目． （２）数列是特殊的函数，等差、等比数列更是如 此，因此求解数列问题应依据题意，注意沟通数列与函 数之间的内在联系，运用函数与方程的思想求解往往 使解法方便快捷． （３）在等差数列与等比数列中，经常要根据条件 列方程（组）求解，在解方程（组）时，仔细体会两种情 形中解方程（组）方法的不同之处． ３．数列应用题 （１）与数列有关的应用题大致有三类：一是有关 等差数列的应用题；二是有关等比数列的应用题；三是 有关递推数列中可化成等差、等比数列的应用题．其中 第一类问题在内容上比较简单，建立等差数列模型后， 常常转化成整式或整式不等式处理，容易计算；对于第 二类问题，建立等比数列模型后，弄清项数是关键，运 算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依 据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按 要求保留一定的精确度，注意答案要符合题设中实际 问题的需要；对于第三类问题，要掌握将线性递推数列 化成等比数列求解的方法． （２）数列应用涉及到有关利率问题、环境问题、生 活实践问题、工农业生产问题等．但不论是哪类问题， 都有数列的共同特征，即变量是正整数，这样思路就明 朗化了．首先考虑能否把这种问题归结到等差、等比数 列上去．当一般规律不易发现时，不妨用由特殊归纳出 一般的思路，这样对解题是有帮助的． 等差数列和等比数列是数列的两个最基本的模 型，是高考中的热点之一．基