三角函数全真试题专项解析-【数理报·抢分计划】2024年新高考数学题型解析冲击训练

书 一、注重诱导公式和三角恒等式的学习 利用诱导公式可以把任意的三角函数转化为锐角 三角函数，诱导公式起着变名、变号、变角等作用，可用 “奇变偶不变，符号看象限”来帮助记忆．三角恒等式 在运用时要审查公式成立的条件，要熟练掌握公式的 逆用、反用、变形用，注意升幂、降幂的特定公式． 二、注重三角函数的图象、性质的学习 熟练掌握和运用函数 ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘ，ｙ＝ ｔａｎｘ的性质解决三角函数的定义域、值域、单调性、奇 偶性、周期性等问题，这是解决函数与三角函数结合问 题的基础．重点掌握函数 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ），ｙ＝ Ａｃｏｓ（ωｘ＋φ）两类函数的五点作图法和图象变换过 程，有关三角函数的定义域与值域问题，最大值、最小 值问题通常把函数解析式化为 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）＋Ｂ 这种结构，然后根据图象去求解． 三、注重解三角形知识的学习 在高考解答题中解三角形知识常与三角函数知识 结合考查．正弦定理和余弦定理是解三角形问题的主 要工具，是联系三角形边和角关系的桥梁，在解答过程 中要通过三角公式对由其得到的关系式进行化简、变 形、整理，得到三角形的边角关系．另外要注意角的取 值范围和三角形这一特定的几何背景． 四、注重三角函数应用题 三角函数的实际应用是指用三角函数理论解决生 产、科研和日常生活中的实际问题．三角函数的知识产 生于测量、航海和天文学，进而在机械制造、电工、物理 学等学科中得到广泛应用．对于测量、航海问题，要理 解有关仰角、俯角、方位角等概念，画出示意图，将问题 归结为解三角形问题． 五、注重常见方法和技巧的学习 化归与转化思想是三角函数问题的主要思想，主 要表现在变换上，多种变换都需要我们去掌握． 函数的变换：如切化弦，一般来说把正切函数变为 正、余弦函数便于问题的解决，我们可用同角三角函数 关系中商数关系来转换；再如用诱导公式呈现正弦和 余弦之间的转化． 其他常用的变换主要有： （１）１的变换：如１＝ｔａｎπ４，１＝ｓｉｎ ２α＋ｃｏｓ２α等． （２）角的变换：如 α＝２· α２，α＝（α＋β）－β， α＝ １２［（α＋β）＋（α－β）］等． （３）式的变换：如 ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ２α－１＝１－ ２ｓｉｎ２α，ｃｏｓ２α＝１＋ｃｏｓ２α２ ，ｓｉｎ ２α＝１－ｃｏｓ２α２ ． （４）幂的变换：如ｓｉｎα＋ｃｏｓα，ｓｉｎα－ｃｏｓα，ｓｉｎα· ｃｏｓα，这三个式子如果已知其中一个式子的值，则其余 两个的值也可求出． 题型一：任意角的三角函数定义 例１ 已知角α的顶点为坐标原点，始边与 ｘ轴 的非负半轴重合，终边上有两点 Ａ（１，ａ），Ｂ（２，ｂ），且 ｃｏｓ２α＝ ２３，则｜ａ－ｂ｜＝ （　　） （Ａ）１５ （Ｂ） 槡５ ５ （Ｃ） 槡２５ ５ （Ｄ）１ 解析：由题意知ｃｏｓα＞０． 因为 ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ２α－１＝ ２３，所以 ｃｏｓα＝ 槡 ５ ６，ｓｉｎα＝±槡 １ ６，得｜ｔａｎα｜＝ 槡５ ５． 由题意知｜ｔａｎα｜＝ ａ－ｂ １－２ ，所以｜ａ－ｂ｜＝槡５５． 故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查任意角的三角函数和三角恒 等变换，考查学生分析问题、解决问题的能力以及运算 求解能力． 题型二、三角函数化简、求值 例２ （２０２３全国乙）若 θ (∈ ０，π )２ ，ｔａｎθ＝ １ ２，则ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝ ． 解析：由θ (∈ ０，π )２ ，知ｓｉｎθ＞０，ｃｏｓθ＞０． 因为ｔａｎθ＝ｓｉｎθｃｏｓθ ＝ １２，则ｃｏｓθ＝２ｓｉｎθ， 且ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎ２θ＝４ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎ２θ＝５ｓｉｎ２θ＝１， 解得ｓｉｎθ＝槡５５或ｓｉｎθ＝－ 槡５ ５（舍）， 所以ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝ｓｉｎθ－２ｓｉｎθ＝－ｓｉｎθ＝－槡５５． 点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，考 查运算求解能力． 例３ （２０２３新课标Ⅱ）已知α为锐角，ｃｏｓα＝ １＋槡５ ４ ，则ｓｉｎ α ２ ＝ （　　） （Ａ）３－槡５８ （Ｂ） －１＋槡５ ４ （Ｃ）３－槡５４ （Ｄ） －１＋槡５ ４ 解析：由题意，ｃｏｓα＝１＋槡５４ ＝１－２ｓｉｎ ２α ２，得 ｓｉｎ２ α２ ＝ ３－槡５ ８ ，将选项逐个代入验证可知（Ｄ）选项 满足，故选（Ｄ）． 点评：本题考查学生对余弦的二倍角公式深入理 解，并能够灵活应用，同时考查运算求解能力． 例４ （２０２３新课标Ⅰ）已知ｓｉｎ（α－β）＝１３， ｃｏｓαｓｉｎβ＝ １６，则ｃｏｓ（２α＋２β）＝ （　　） （Ａ）７９ （Ｂ） １ ９ （Ｃ）－ １ ９ （Ｄ）－ ７ ９ 解析：因为ｓｉｎ（α－β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ＝ １ ３，且ｃｏｓαｓｉｎβ＝ １ ６，所以ｓｉｎαｃｏｓβ＝ １ ２． 所以ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＝