平面向量全真试题专项解析 不等式全真试题专项解析-【数理报·抢分计划】2024年新高考数学题型解析冲击训练

书 平面向量也是高考中的常考点之一，考查方式有 两种，一是以选择题、填空题的形式去考查有关向量的 基本知识；二是与三角函数、解析几何等知识结合起来 以解答题的形式考查，本文总结了第一种考查方式下 的常见题型． 　 　　 　　　 　　　 　　 　　 　　 题型一：向量的线性运算 例１ （２０２２新高考全国Ⅰ）在△ＡＢＣ中，点Ｄ在 边ＡＢ上，ＢＤ＝２ＤＡ．记→ＣＡ＝ｍ，→ＣＤ＝ｎ，则→ＣＢ＝ （　　） （Ａ）３ｍ－２ｎ （Ｂ）－２ｍ＋３ｎ （Ｃ）３ｍ＋２ｎ （Ｄ）２ｍ＋３ｎ 解析：因为ＢＤ＝２ＤＡ，所以→ＡＢ＝３→ＡＤ，所以→ＣＢ＝ → → →ＣＡ＋ＡＢ＝ＣＡ＋３→ →ＡＤ＝ＣＡ＋３（→ →ＣＤ－ＣＡ）＝－２→ＣＡ＋ ３→ＣＤ＝－２ｍ＋３ｎ．故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查平面向量的线性运算，考查学 生的化归与转化能力及运算求解能力． 题型二：向量平行与垂直 例２ （２０２３新课标Ⅰ）已知向量 ａ＝（１，１），ｂ ＝（１，－１）．若（ａ＋λｂ）⊥（ａ＋μｂ），则 （　　） （Ａ）λ＋μ＝１ （Ｂ）λ＋μ＝－１ （Ｃ）λμ＝１ （Ｄ）λμ＝－１ 解析：根据题意，ａ＋λｂ＝（１＋λ，１－λ）， ａ＋μｂ＝（１＋μ，１－μ）． 由（ａ＋λｂ）⊥（ａ＋μｂ）得（ａ＋λｂ）·（ａ＋μｂ）＝０， 即（１＋λ）（１＋μ）＋（１－λ）（１－μ）＝０， 整理得λμ＝－１．故选：（Ｄ）． 点评：本题主要考查平面向量的垂直、向量的坐标 运算，考查学生的运算求解能力． 题型三、向量的模 例３ （２０２３新课标Ⅱ）已知向量ａ，ｂ满足｜ａ－ ｂ｜＝槡３，｜ａ＋ｂ｜＝｜２ａ－ｂ｜，则｜ｂ｜＝ ． 解析：由｜ａ＋ｂ｜＝｜２ａ－ｂ｜， 得（ａ＋ｂ）２ ＝（２ａ－ｂ）２， 即ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２ ＝４ａ２－４ａ·ｂ＋ｂ２， 整理得ａ２－２ａ·ｂ＝０． 又｜ａ－ｂ｜＝槡３，即（ａ－ｂ） ２ ＝３， 所以ａ２－２ａ·ｂ＋ｂ２ ＝ｂ２ ＝３，解得｜ｂ｜＝槡３． 点评：本题主要考查平面向量的模、平面向量的数 量积，考查学生的运算求解能力． 题型四、向量的夹角 例４ （２０２３全国甲）已知向量 ａ＝（３，１），ｂ＝ （２，２），则ｃｏｓ〈ａ＋ｂ，ａ－ｂ〉＝ （　　） （Ａ）１１７ （Ｂ） 槡１７ １７ （Ｃ） 槡５ ５ （Ｄ） 槡２５ ５ 解析：根据题意，ａ＋ｂ＝（５，３），ａ－ｂ＝（１，－１）， 所以ｃｏｓ〈ａ＋ｂ，ａ－ｂ〉＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）｜ａ＋ｂ｜｜ａ－ｂ｜ ＝ ２ 槡３４×槡２ ＝槡１７１７． 故选：（Ｂ）． 点评：本题主要考查向量的坐标运算、数量积、夹 角公式，考查学生的运算求解能力． 例５ （２０２３全国甲）已知向量 ａ，ｂ，ｃ满足｜ａ｜ ＝｜ｂ｜＝１，｜ｃ｜＝槡２，且ａ＋ｂ＋ｃ＝０，则ｃｏｓ〈ａ－ｃ， ｂ－ｃ〉＝ （　　） 　 　　 　　　 　　　 　　 　　 　　 （Ａ）－４５ （Ｂ）－ ２ ５ （Ｃ） ２ ５ （Ｄ） ４ ５ 解析：由ａ＋ｂ＋ｃ＝０得ａ＋ｂ＝－ｃ， 所以ａ２＋ｂ２＋２ａ·ｂ＝ｃ２，即１＋１＋２ａ·ｂ＝２， 解得ａ·ｂ＝０． 如图１，令向量 ａ，ｂ的起点 均为Ｏ，终点分别为 Ａ，Ｂ，以→ＯＡ， →ＯＢ分别为 ｘ，ｙ轴的正方向建立 平面直角坐标系，则ａ＝（１，０）， ｂ＝（０，１），ｃ＝－ａ－ｂ＝（－１， －１），所以ａ－ｃ＝（２，１），ｂ－ｃ ＝（１，２），则ｃｏｓ〈ａ－ｃ，ｂ－ｃ〉＝ （ａ－ｃ）·（ｂ－ｃ） ｜ａ－ｃ｜·｜ｂ－ｃ｜＝ ２＋２ 槡５×槡５ ＝ ４ ５，故选（Ｄ）． 点评：本题主要考查向量的坐标运算、数量积、夹 角公式，考查学生的运算求解能力． 题型五、平面向量基本定理 例６ 如图 ２，在 △ＡＢＣ 中，Ｄ是 ＢＣ的中点，Ｅ在边ＡＢ 上，ＢＥ＝２ＥＡ，ＡＤ与ＣＥ交于点 Ｏ．若→ＡＢ·→ＡＣ＝６→ＡＯ·→ＥＣ，则ＡＢＡＣ 的值是 ． 解析：由Ａ，Ｏ，Ｄ三点共线，可设→ＡＯ＝λ→ＡＤ，则→ＡＯ ＝ λ２（ → →ＡＢ＋ＡＣ），由Ｅ，Ｏ，Ｃ三点共线可设→ＥＯ＝μ→ＥＣ， 则 → →ＡＯ－ＡＥ＝μ（→ →ＡＣ－ＡＥ），则→ＡＯ＝（１－μ）→ＡＥ＋ μ→ＡＣ＝ １３（１－μ） →ＡＢ＋μ→ＡＣ， 由平面向量基本定理可得 １ ３（１－μ）＝ λ ２， μ＝ λ２ { ， 解得μ＝ １４，λ＝ １ ２， 则 →ＡＯ＝１４（ → →ＡＢ＋ＡＣ），→ → → →ＥＣ＝ＡＣ－ＡＥ＝ＡＣ－１３ →ＡＢ， 则６→ＡＯ·→ＥＣ＝６×１４（ → →ＡＢ＋ＡＣ (）· →ＡＣ－１３→ )ＡＢ ＝ (３２ ２３→ＡＢ·→ →ＡＣ＋ＡＣ２－１３→ＡＢ )２ →＝ＡＢ·→ＡＣ， 化简得３→ＡＣ２ →＝ＡＢ２，则ＡＢＡＣ＝槡３． 点评：本题主要