立体几何与空间向量全真试题专项解析-【数理报·抢分计划】2024年新高考数学题型解析冲击训练

书 一、透析命题形式 从命题形式上看，试题以多面体为载体，在直线、 平面、多面体的交汇处命题．分步设问：分设３小题左 右，诸小题之间有一定的梯度．第一小问重点考查运用 空间向量求线线、线面、面面的位置关系，后面几问重 点考查运用空间向量来求异面直线所成的角、二面角， 证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面 垂直等立体几何基本问题，其解题思路都是“作 ——— 证———求”，强调作图、证明和计算相结合． 在新课标的试题中，为了突出对向量工具作用的 考查，试题所考查的多面体一般都是直棱柱、正棱锥， 或有一条棱与底面垂直的多面体或者是有一个面与底 面垂直的多面体． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　二、透析考试内容 １．空间向量 空间向量的基本定理是判断立体几何图形中点共 线，线共面的依据；空间向量的平行与垂直的坐标运算 是论证线线、线面及面面平行与垂直的基础；空间向量 内积的坐标运算及其变形公式是立体几何中求角和距 离的工具．运用空间向量解决立体几何问题体现了 “数”与“形”的推理方法，降低了思维难度，使解题变 得程序化． ２．空间点、线、面的位置关系 空间几何体中判断四点的共面问题，直线与直线、 直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系是高考立 体几何命题的重点和热点，一般在解答题的第一问，大 约占本题总分的三分之一，属于简单题．理清所给图形 中点、线、面的位置关系，熟练掌握直线与直线、直线与 平面、平面与平面的平行与垂直的判定定理和性质定 理，准确地用数学语言和符号将定理的内容表达出来 是解题的关键．这类题目既可以考查多面体的概念和 性质，又能考查空间的线面关系，并将论证和计算有机 地结合在一起，可以比较全面、准确地考查同学们的空 间想象能力、逻辑推理能力以及分析和解决问题的能力． ３．空间角 空间角是每年高考立体几何解答题的必考内容， 主要涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二 面角等．新课标的高考对求空间角考查主要侧重于向 量的应用，教材上淡化了利用空间关系找角，加大了向 量的应用，空间向量的坐标运算是求空间角的很好的 工具． ４．空间距离 空间距离常见的是点到直线的距离，异面直线间 距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，高考对空 间距离的考查主要是求点到面的距离，要特别注意解 决此类问题的转化方法． 题型一、空间几何体的表面积、体积 例１ （２０２３新课标 Ⅰ）在正四棱台 ＡＢＣＤ－ Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ＝２，Ａ１Ｂ１＝１，ＡＡ１＝槡２，则该棱台的 体积为 ． 解析：如图１，过点Ａ１作 Ａ１Ｍ⊥ ＡＣ，垂足为 Ｍ，易知 Ａ１Ｍ为正四棱台 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的高． 由题得 Ａ１Ｏ１ ＝ １ ２Ａ１Ｃ１ ＝ １２×槡２Ａ１Ｂ１＝ 槡２ ２，ＡＯ＝ １ ２ＡＣ＝ １ ２×槡２ＡＢ＝槡２， ＡＭ ＝ＡＯ－Ａ１Ｏ１ ＝槡 ２ ２， Ａ１Ｍ ＝ ＡＡ ２ １－ＡＭ槡 ２ ＝ ２－槡 １ ２ ＝ 槡６ ２， 所以该棱台的体积Ｖ＝１３×（４＋１＋ ４×槡 １）× 槡６ ２ ＝ 槡７６６． 点评：本题主要考查棱台的体积公式，考查学生的 空间想象能力、运算求解能力． 例２ （２０２３天津）在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，线段ＰＣ 上的点Ｍ满足ＰＭ＝１３ＰＣ，线段ＰＢ上的点Ｎ满足ＰＮ ＝ ２３ＰＢ，则三棱锥Ｐ－ＡＭＮ和三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的体积 之比为 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　 （Ａ）１９ （Ｂ） ２ ９ （Ｃ） １ ３ （Ｄ） ４ ９ 解析：如图 ２，因为 ＰＭ ＝ １ ３ＰＣ，ＰＮ＝ ２ ３ＰＢ，所以 Ｓ△ＰＭＮ Ｓ△ＰＢＣ ＝ １ ２ＰＭ·ＰＮ·ｓｉｎ∠ＢＰＣ １ ２ＰＣ·ＰＢ·ｓｉｎ∠ＢＰＣ ＝ ＰＭ·ＰＮ ＰＣ·ＰＢ＝ １ ３× ２ ３ ＝ ２ ９，所以 ＶＰ－ＡＭＮ ＶＰ－ＡＢＣ ＝ ＶＡ－ＰＭＮ ＶＡ－ＰＢＣ ＝ １ ３Ｓ△ＰＭＮ·ｄ １ ３Ｓ△ＰＢＣ·ｄ ＝ Ｓ△ＰＭＮ Ｓ△ＰＢＣ ＝２９（其中ｄ 为点Ａ到平面ＰＢＣ的距离，因为平面ＰＭＮ和平面ＰＢＣ 重合，所以点Ａ到平面ＰＭＮ的距离也为ｄ）．故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查三棱锥的体积、等体积法，考 查学生的直观想象、逻辑推理及数学运算能力． 题型二、球的计算 例３ （２０２３全国乙）已知点 Ｓ，Ａ，Ｂ，Ｃ均在半径 为２的球面上，△ＡＢＣ是边长为３的等边三角形，ＳＡ⊥ 平面ＡＢＣ，则ＳＡ＝ ． 解析：如图３，设 △ＡＢＣ的外接圆圆心为 Ｏ１，连接 Ｏ１Ａ，因为△ＡＢＣ是边长为３的等边三角形，所以其外 接圆半径ｒ＝Ｏ１Ａ＝ ２ ３× 槡３ ２×３ ＝槡３． 将三棱锥Ｓ－ＡＢＣ补形为正 三棱柱 ＳＢ１Ｃ１－ＡＢＣ，由题意知 ＳＡ为侧棱，设球心为 Ｏ，连接 ＯＯ１，ＯＡ，则ＯＯ１⊥平面ＡＢＣ，且ＯＯ１ ＝ １ ２ＳＡ． 又球的半径Ｒ＝ＯＡ＝２，