解析几何全真试题专项解析-【数理报·抢分计划】2024年新高考数学题型解析冲击训练

书 一、透析直线与圆、圆锥曲线的方程 直线的方程主要有五种形式，应用时要注意各自 的适用条件．圆的方程主要分为标准式与一般式两种， 解题时要根据题设中的具体条件选用圆的方程，这部 分知识除客观题外，还贯穿于解答题中，特别是直线方 程及其相关知识，如两条直线相交、平行、垂直的条件等． 二、透析直线与圆的位置关系 直线与圆有相离、相切、相交三种位置关系，在高 考解答题中都有可能涉及．由于圆的特殊性，处理直线 与圆的位置关系、弦长、弦的中点及轨迹等问题时，一 般不使用判别式和韦达定理，只需使用点到直线的距 离公式建立方程或不等式即可解决，且运算量小、过程简 捷． 三、透析曲线与方程的关系 根据曲线与方程的关系，在求曲线（或点的轨迹） 方程时要注意下面两点：（１）曲线上的所有点都符合 条件而毫无例外，它刻画了轨迹的纯粹性；（２）适合条 件的点都在曲线上而毫无遗漏，它刻画了轨迹的完整 性．这两种关系必须同时满足，缺一不可．因此，在求曲 线（或点的轨迹）方程时，所求出的方程和题设条件中 所描述的曲线（或图形）是否等价，需从两个方面着 手：（１）验证曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （２）验证以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．在 求轨迹方程时，如果忽略隐蔽条件或在方程化简过程 中不等价，所求的方程就会出现多点与少点的情况，因 此解这类题目时，一定要认真分析题意，做到等价变 形． 四、透析圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线内在的、固有的 性质，不因为位置的改变而改变，高考主要考查方程中 变量的范围 ! 焦点、顶点 ! 离心率、准线、渐近线等．在解 答题中常常利用圆锥曲线的几何性质建立不等关系求 圆锥曲线的离心率 ! 最值 ! 参数范围等，从而简化解题 的过程． 五、透析直线与圆锥曲线的位置关系 对直线与圆锥曲线位置关系的考查主要有两种题 型：一是判断已知直线与已知曲线的位置关系；二是根 据直线与圆锥曲线的某种位置关系，考查直线与曲线 相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及 相关的不等式与等式证明等．在解答此类问题时，要注 意函数与方程、分类与整合、化归与转化、数形结合四 大数学思想的应用，同时注意待定系数法、不等式法、 构造法、换元法等数学方法与技巧的重要作用． 六、透析解答解析几何问题的常见方法与技巧 １．回归定义：凡涉及到圆锥曲线焦点、准线、离心 率的有关问题，可借助圆锥曲线定义来转化． ２．数形结合：解析几何以数量关系研究几何形状， 在解析几何中所涉及的曲线具有“数”与“形”的双重 性，离开具体的图形解题无疑是纸上谈兵，数形结合是 解析几何的基本思想方法．借助直观图形能使直线与 圆锥曲线的位置关系问题直观显现，获得迅速解答． ３．利用向量：向量与平面解析几何都具有数与形 相结合的特性，向量具有多种工具作用，在平面解析几 何中有关长度、角度的计算及有关平行（三点共线）、垂 直等位置关系问题可以利用向量知识解决，向量可以 使许多解析几何问题的解答得到简化． ４．平面几何的渗透：解析几何的题型多，涉及的知 识面宽，变量多，综合性强，解答多以字母运算为主，量 大且繁琐．若能充分挖掘题设中所给的几何性质，巧妙 地运用平面几何的知识，则可避免冗长的推导和运算， 大大降低难度，使解题过程简捷而明了． ５．设而不求：用解析法处理几何问题，设点的坐标 最为常见，但求点的坐标并不多见．根据点在曲线上， 坐标是方程解的代数特征，灵活运用方程理论，是设而 不求的实质．如果涉及到曲线交点的问题，可不求出交 点的坐标，而是转化为利用根与系数的关系或“点差法” 的形式，快速作出正确的解答． ６．引入参数：引入适当参数，对于深入研究直线与 圆锥曲线的关系非常重要．选择适当的参数，如点参 数、角参数、直线斜率、截距等，配之以相应的代数变 形，往往可简化运算，达到事半功倍的效果． ７．应用根与系数的关系：如果直线与二次曲线相 交，由直线方程Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０和二次曲线方程ｆ（ｘ，ｙ） ＝０联立消去ｘ或ｙ得到关于ｙ或ｘ的一个一元二次方 程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０或ａｙ２＋ｂｙ＋ｃ＝０，则直线与曲线 的两个交点（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）的横坐标ｘ１，ｘ２或纵坐标 ｙ１，ｙ２恰好分别是上述两个方程的根．因此，与一元二 次方程紧密联系的根与系数的关系在解决直线与曲线 的位置关系中有着重要作用． 题型一、直线、圆的方程 例１ （２０２３上海）已知圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２－４ｙ－ｍ＝０ 的面积为π，则ｍ＝ ． 解析：由ｘ２＋ｙ２－４ｙ－ｍ＝０得 ｘ２＋（ｙ－２）２ ＝ｍ＋４，故半径ｒ＝ ｍ＋槡 ４， 所以π（ｍ＋４）＝π，解得ｍ＝－３． 点评：本题主要考查圆的方程与面积，配方法，考 查学生的运算求解能力． 题型二、直线与圆的位置关系 例２ （２０２３新课标Ⅱ）