函数全真试题专项解析-【数理报·抢分计划】2024年新高考数学题型解析冲击训练

书 函数是中学数学的重点内容，它几乎贯穿中学数 学的始终，蕴涵着中学阶段的所有理念、思想及方法， 它是进一步学习高等数学的基础，因而是高考数学的 考查重点、热点，在历年的高考中所占比例较大．这些 试题不仅考查有关函数的基本知识、基本技能及基本 方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力，以及分 析问题和解决问题的能力．通过函数的基本知识、基本 方法在三角函数、数列、立体几何、解析几何等各部分 知识中的应用，从而提高分析问题与解决问题的能力． 因此，我们有必要对函数的相关知识点及其相互之间 的内在联系以及高考命题规律作重点的讲解与分析． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、函数的三要素 定义域、值域、对应法则是函数的三要素，定义域 是三要素中最关键的要素，是使函数有意义所必须具 备的前提条件．没有定义域的“函数”就构不成函数， 而大多数同学最容易忽视的也是这一点，因此解题时 要遵循“定义域优先”的原则．函数的对应法则是联系 函数的自变量与函数值之间关系的“桥梁”，中学阶段 函数的对应法则常见的有解析式、图象、图表三种，在 表示一个函数时，它们各有特色．解析式的特点是简 洁，图象、图表的特点是直观．函数的值域是研究函数 的一个落脚点，它是自变量取遍定义域内所有值，通过 对应法则得到的函数值的全体．函数值域的求法很多， 因此函数的值域在函数学习中是一个难点，注意函数 的最值也可以利用求值域的方法来求取．这部分知识 是高考考查的重点和热点，经常涉及到方程、不等式、导 数等问题． 二、函数的单调性 函数的单调性是研究函数图象形态走势的一种重 要工具．求函数的值域、比较函数值的大小、解不等式 等都离不开函数的单调性，判断函数单调性的常见方 法有定义法、值域法、图象法、导数法．值得注意的是， 函数的单调性是针对函数定义域内的某个区间而言 的．导函数的正负也是判定函数单调性的一种方法． 三、函数的奇偶性和周期性 正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两 个问题：（１）定义域在数轴上关于原点对称是函数为 奇函数或偶函数的必要不充分条件；（２）ｆ（－ｘ）＝ －ｆ（ｘ）或ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）是定义域上的恒等式，奇函 数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 ｙ轴对称， 反之也真． 对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在 着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正 周期． 四、函数的最值 函数的最大（小）值是相对函数的整个定义域而 言，其几何意义即是图象的最高（低）点的纵坐标，它 与函数的值域是两个不同的概念，但是两者有必然的 联系．函数最值与极值也是不同概念，要注意区别． 题型一、函数的三要素、求值问题 例１ （２０２３北京）已知函数ｆ（ｘ）＝４ｘ＋ｌｏｇ２ｘ，则 (ｆ )１２ ＝ ． 解析： (ｆ )１２ ＝４１２ ＋ｌｏｇ２１２ ＝２－１＝１． 点评：本题考查求函数值，指数幂和对数的运算， 考查运算求解能力． 例２ （２０２３上海）已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ ｘ，ｘ＞０， １，ｘ≤０{ ，则 ｆ（ｘ）的值域为 ． 解析：当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ单调递增，ｆ（ｘ）＞１； 当ｘ≤０时，ｆ（ｘ）＝１．故ｆ（ｘ）的值域为［１，＋∞）． 点评：本题主要考查分段函数的值域，指数函数的 图象，考查学生的数形结合能力． 题型二、函数的奇偶性、单调性 例３ （２０２３新课标 Ⅱ）若 ｆ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）· ｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１为偶函数，则ａ＝ （　　） （Ａ）－１ （Ｂ）０ （Ｃ）１２ （Ｄ）１ 解析：因为ｆ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）ｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１为偶函数， ｆ（－１）＝（ａ－１）ｌｎ３， ｆ（１）＝（ａ＋１）ｌｎ１３ ＝－（ａ＋１）ｌｎ３， 所以（ａ－１）ｌｎ３＝－（ａ＋１）ｌｎ３，解得ａ＝０， 故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查函数的奇偶性，考查学生的逻 辑推理能力和数学运算能力． 例４ （２０２３北京）下列函数中，在区间（０，＋∞） 上单调递增的是 （　　） （Ａ）ｆ（ｘ）＝－ｌｎｘ （Ｂ）ｆ（ｘ）＝ １ ２ｘ （Ｃ）ｆ（ｘ）＝－１ｘ （Ｄ）ｆ（ｘ）＝３ ｜ｘ－１｜ 解析：ｆ（ｘ）＝－ｌｎｘ在（０，＋∞）上单调递减，（Ａ） 错误； ｆ（ｘ）＝ １ ２ｘ (＝ )１２ ｘ 在（０，＋∞）上单调递减， （Ｂ）错误； ｆ（ｘ）＝－１ｘ＝ －１ ｘ在（０，＋∞）上单调递增，（Ｃ） 正确； ｆ（ｘ）＝３｜ｘ－１｝ ＝ ３ ｘ－１，ｘ≥１， ３１－ｘ，０＜ｘ＜１{ ，显然 ｆ（ｘ）＝ ３｜ｘ－１｜在（０，１）上单调递减，在［１，＋∞）上单调递增， （Ｄ）错误． 故选：（Ｃ）． 点评：本题主要考查函数的单调性，考查学生的化 归与转化能力． 例５ （２０２３全国甲）已知函数ｆ（ｘ）＝ｅ－（ｘ－１）２． 记 (ａ＝ｆ 槡２)２ ， (ｂ＝ｆ 槡３)２ ， (ｃ＝ｆ 槡