概率与统计全真试题专项解析-【数理报·抢分计划】2024年新高考数学题型解析冲击训练

! " # $ !" 书 一、透析概率的定义 概率反映的是随机事件在一次试验中发生的可能 性的大小，是在大量相同的重复试验下随机事件出现 的频率的稳定性，是偶然中的必然． 二、透析互斥事件的概率 若事件Ａ发生，则事件Ｂ就不会发生，同样，若事件 Ｂ发生，则事件Ａ就不会发生，这样的两个事件称为互 斥事件或称事件Ａ与事件Ｂ互斥．从集合角度来看，事 件Ａ，Ｂ都是包含若干个结果的集合，这两个集合的交 集是空集，这一概念可以推广到ｎ个事件的情况．其中 在一次试验中必有一个会发生的两个互斥事件称为对 立事件，从集合角度来看，事件Ａ，Ｂ都是包含若干个结 果的集合，这两个集合的交集是空集且这两个集合的 并集是全集． 三、透析相互独立事件的概率与条件概率 两个事件之间，事件Ａ是否发生对事件Ｂ发生的概 率没有影响，同时事件Ｂ是否发生对事件Ａ发生的概率 也没有影响，这样的两个事件称为相互独立事件．若 ｎ 个事件两两相互独立，则称这ｎ个事件相互独立．一些 复杂事件有时可以转化为相互独立事件同时发生的概 率进行计算． 四、透析期望与方差 期望与方差是统计中的两个基本概念，高考试题 中常以它作为媒介，渗透函数、方程、不等式、数列、向 量、解析几何、立体几何等知识，设计出一些新颖别致、 知识融合、值得思索的试题． 题型一、两个基本计数原理、排列与组合 例１ （２０２３全国乙）甲、乙两位同学从６种课外 读物中各自选读２种，则这两人选读的课外读物中恰 有１种相同的选法共有 （　　） 　　　 　　　　　 　　　　　 　　（Ａ）３０种 （Ｂ）６０种 （Ｃ）１２０种 （Ｄ）２４０种 解析：甲、乙二人先选１种相同的课外读物，有 Ｃ１６ ＝６（种）情况，再从剩下的５种课外读物中各自选１本 不同的读物，有Ｃ１５Ｃ １ ４ ＝２０（种）情况，由分步乘法计数 原理可得共有６×２０＝１２０（种）选法，故选Ｃ． 点评：本题主要考查排列组合的知识，考查学生分 析问题、解决问题的能力以及运算求解能力． 例２ （２０２３新课标Ⅰ）某学校开设了４门体育类 选修课和４门艺术类选修课，学生需从这８门课中选修 ２门或３门课，并且每类选修课至少选修１门，则不同的 选课方案共有 种（用数字作答）． 解析：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和 艺术类选修课各选修１门，有Ｃ１４Ｃ １ ４种方案；第二类，在 体育类选修课中选修１门，在艺术类选修课中选修２ 门，有Ｃ１４Ｃ ２ ４种方案；第三类，在体育类选修课中选修２ 门，在艺术类选修课中选修１门，有Ｃ２４Ｃ １ ４种方案．综上， 不同的选课方案共有Ｃ１４Ｃ １ ４＋Ｃ １ ４Ｃ ２ ４＋Ｃ ２ ４Ｃ １ ４ ＝６４（种）． 点评：本题主要考查分类加法计数原理、排列组合 的实际应用，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能 力． 题型二、二项式定理 例３ （２０２３北京 (） ２ｘ－１ )ｘ ５ 的展开式中含 ｘ 项的系数为 （　　） （Ａ）－８０ （Ｂ）－４０ （Ｃ）４０ （Ｄ）８０ 解析 (： ２ｘ－１ )ｘ ５ 的二项展开式的通项 Ｔｒ＋１ ＝ Ｃｒ５（２ｘ） ５ (－ｒ －１ )ｘ ｒ ＝（－１）ｒ２５－ｒＣｒ５ｘ ５－２ｒ，令５－２ｒ＝１， 解得ｒ＝２，所以Ｔ３ ＝（－１） ２２５－２Ｃ２５ｘ＝８０ｘ，即含ｘ项 的系数为８０．故选：（Ｄ）． 点评：本题主要考查二项展开式通项公式的应用， 考查学生的运算求解能力． 题型三、互斥事件、相互独立事件 例４ （２０２３新课标Ⅱ）（多选）在信道内传输０，１ 信号，信号的传输相互独立．发送０时，收到１的概率为 α（０＜α＜１），收到０的概率为１－α；发送１时，收到 ０的概率为β（０＜β＜１），收到１的概率为１－β．考虑 两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每 个信号只发送１次；三次传输是指每个信号重复发送３ 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时， 收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现 次数多的即为译码（例如，若依次收到１，０，１，则译码为 １）． （　　） （Ａ）采用单次传输方案，若依次发送１，０，１，则依 次收到１，０，１的概率为（１－α）（１－β）２ （Ｂ）采用三次传输方案，若发送１，则依次收到１， ０，１的概率为β（１－β）２ （Ｃ）采用三次传输方案，若发送１，则译码为１的 概率为β（１－β）２＋（１－β）３ （Ｄ）当０＜α＜０５时，若发送０，则采用三次传输 方案译码为０的概率大于采用单次传输方案译码为０ 的概率 解析：由题意，发０收１的概率为α，发０收０的概率为 １－α；发１收０的概率为β，发１收１的概率为１－β． 对于（Ａ），发１收１的概率为１－β，发０收０的概 率为１－α，发１收１的概率为１－β，所以所求概率为（１ －α）（１－β）２，故（Ａ）选项正确． 对于（Ｂ