导数及其应用全真试题专项解析-【数理报·抢分计划】2024年新高考数学题型解析冲击训练

书 导数是高中数学知识的重要组成部分，是高中数 学与大学数学最重要的一个衔接点，在近三年的高考 中，导数几乎全部作为必考内容出现在各地的高考试 卷中．在高考命题上，导数多充当“工具性”的作用，与 函数、解析几何、不等式等知识密切联系．在处理曲线 的切线、函数的最值及单调性、参数的范围、实际生活 中的优化等问题方面，导数发挥着重大的作用，因此是 高考解答题命题的重要着眼点． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、函数的单调性 利用导数法求函数的单调区间，是此部分知识在 高考中命题的一个重要着眼点．求解时，一般方法是令 函数的导数分别大于、小于零，分别得到函数的增、减 区间．处理此类问题时，还要注意在求解之前，先求出 函数的定义域，然后再去求函数的单调区间． 二、函数的极值 函数极值的考查很多时候是与函数最值联系在一 起的，但近几年的高考中，函数极值的单独考查出现较 多．求解极值，要先求出函数的导数，令导数为零，求出 相应的变量值，结合函数的单调性，判断极值是否存 在，进而求出极值．反之，如果函数在某一点处取得极 值，则在该点处的导数为零，同学们要注意这一结论的 应用． 三、函数的最值 求解函数的最值，同样要先求出函数的导数，令导 数为零，求出函数的极值点，根据极值去判断函数的最 值．高考在对这部分知识考查时，往往是求函数在某一 闭区间上的最值，这样在处理时，不但要考虑极值点， 还要将在极值点处求得的函数值，与区间端点处的函 数值进行比较，以得到最大、最小值． 题型一、导数的概念及计算 例１ （２０２３全国甲）曲线 ｙ＝ ｅ ｘ ｘ＋１ (在点 １， ｅ)２ 处的切线方程为 （　　） （Ａ）ｙ＝ ｅ４ｘ （Ｂ）ｙ＝ ｅ ２ｘ （Ｃ）ｙ＝ ｅ４ｘ＋ ｅ ４ （Ｄ）ｙ＝ ｅ ２ｘ＋ ３ｅ ４ 解析：由题意可知 ｙ′＝ｅ ｘ（ｘ＋１）－ｅｘ （ｘ＋１）２ ＝ ｘｅ ｘ （ｘ＋１）２ ， 则曲线ｙ＝ ｅ ｘ ｘ＋１ (在点 １，ｅ)２ 处的切线斜率 ｋ＝ｙ′｜ｘ＝１ ＝ ｅ ４， 所以曲线ｙ＝ ｅ ｘ ｘ＋１ (在点 １，ｅ)２ 处的切线方程为 ｙ－ｅ２ ＝ ｅ ４（ｘ－１），即ｙ＝ ｅ ４ｘ＋ ｅ ４． 故选：（Ｃ）． 点评：本题主要考查导数的基本运算与几何意义， 直线的点斜式方程，意在考查学生的运算求解能力． 例２ （２０２３新课标Ⅱ）已知函数ｆ（ｘ）＝ａｅｘ－ｌｎｘ 在区间（１，２）上单调递增，则ａ的最小值为 （　　） （Ａ）ｅ２ （Ｂ）ｅ （Ｃ）ｅ－１ （Ｄ）ｅ－２ 解析：根据题意，ｆ′（ｘ）＝ａｅｘ－１ｘ≥０在（１，２）上 恒成立．易知ａ＞０，所以ｘｅｘ≥ １ａ． 设ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ，ｘ∈（１，２），则ｇ′（ｘ）＝（ｘ＋１）ｅｘ＞ ０，所以ｇ（ｘ）在（１，２）上单调递增，且ｇ（ｘ）＞ｇ（１）＝ ｅ，所以ｅ≥ １ａ，即ａ≥ １ ｅ＝ｅ －１，所以ａ的最小值为ｅ－１． 故选：（Ｃ）． 点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，不 等式恒成立问题，分离参数求最值，很好地体现了导数的 工具性，对逻辑推理、数学运算等核心素养有较高要求． 例３ （２０２３新课标Ⅱ）（多选）若函数 ｆ（ｘ）＝ ａｌｎｘ＋ｂｘ＋ ｃ ｘ２ （ａ≠０）既有极大值也有极小值，则 （　　） （Ａ）ｂｃ＞０ （Ｂ）ａｂ＞０ （Ｃ）ｂ２＋８ａｃ＞０ （Ｄ）ａｃ＜０ 解析：因为函数ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ＋ｂｘ＋ ｃ ｘ２ （ａ≠０）， 所以函数 ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞），ｆ′（ｘ） ＝ ａｘ２－ｂｘ－２ｃ ｘ３ ，因为函数ｆ（ｘ）既有极大值也有极小值， 所以关于ｘ的方程ａｘ２－ｂｘ－２ｃ＝０有两个不等的正实 根ｘ１，ｘ２，则 Δ＞０， ｘ１＋ｘ２ ＞０， ｘ１ｘ２ ＞０ { ， 即 ｂ２＋８ａｃ＞０， ｂ ａ ＞０， －２ｃａ ＞０ { ， 所以 ｂ２＋８ａｃ＞０， ａｂ＞０， ａｃ＜０， ｂｃ＜０ { ． 故选（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）． 点评：本题主要考查利用函数的导数研究函数的 极值，关键掌握极值点处的导函数值等于０，考查学生 的逻辑思维能力和运算求解能力． 题型二、利用导数研究函数的最值 例４ （２０２３新课标Ⅰ）已知函数ｆ（ｘ）＝ａ（ｅｘ＋ ａ）－ｘ． （１）讨论ｆ（ｘ）的单调性； （２）证明：当ａ＞０时，ｆ（ｘ）＞２ｌｎａ＋３２． 解析：（１）ｆ′（ｘ）＝ａｅｘ－１， 当ａ≤０时ｆ′（ｘ）≤０， 所以函数ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上单调递减； 当ａ＞０时，令ｆ′（ｘ）＞０，得ｘ＞－ｌｎａ， 令ｆ′（ｘ）＜０，得ｘ＜－ｌｎａ， 所以函数ｆ（ｘ）在（－∞，－ｌｎａ）上单调递减， 在（－ｌｎａ，＋∞）上单调递增． 综上可得：当ａ≤０时，函数ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞） 上单调递减；当ａ＞０时，函数ｆ（ｘ）在（－∞，－ｌｎａ）上 单调递减，在（－ｌｎａ，＋∞）上单调递增．