《教理报》高考教学信息优化卷(四)——立体几何与空间向量-【数理报·抢分计划】2024年新高考数学题型解析冲击训练

书 （时间：１２０分钟　满分：１５０分） 一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．对于两条不相交的空间直线ａ与ｂ，必存在平面α，使得 （　　） （Ａ）ａα，ｂα （Ｂ）ａα，ｂ∥α （Ｃ）ａ⊥α，ｂ⊥α （Ｄ）ａα，ｂ⊥α ２．（２０２３河北桥东区校级模拟）已知Ｐ为一圆锥的顶点，ＡＢ为底面圆的直径，ＰＡ⊥ＰＢ，点Ｍ在底面圆周上， 若Ｍ为 ) ＡＢ的中点，则异面直线ＡＭ与ＰＢ所成角的大小为 （　　） （Ａ）π６ （Ｂ） π ４ （Ｃ） π ３ （Ｄ） π ２ ３．（２０２３山东高三模拟）如图１，圆柱的底面半径为ｒ，高为ｈ，记圆柱的表面积为Ｓ１，圆柱外接球的表面积为 Ｓ２，若 Ｓ１ Ｓ２ ＝ ４５，则 ｒ ｈ ＝ （　　） （Ａ）１３ （Ｂ） ２ ３ （Ｃ） １ ３或１ （Ｄ） ２ ３或１ ４．已知圆锥ＰＯ的底面半径为槡３，Ｏ为底面圆心，ＰＡ，ＰＢ为圆锥的母线，∠ＡＯＢ＝ ２π ３，若△ＰＡＢ的面积等于 槡９３ ４，则该圆锥的体积为 （　　） （Ａ）π （Ｂ）槡６π （Ｃ）３π （Ｄ）槡３６π ５．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之 美．如图２，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若 ＡＢ＝ ２５ｍ，ＢＣ＝ＡＤ＝１０ｍ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ＡＢＣＤ的夹角的正切值均为槡１４５ ， 则该五面体的所有棱长之和为 （　　） （Ａ）１０２ｍ （Ｂ）１１２ｍ （Ｃ）１１７ｍ （Ｄ）１２５ｍ ６．（２０２３重庆模拟）如图３，四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢＣＤ为平行四边形，点Ｅ，Ｆ分别在线段ＤＢ，ＤＤ１ 上，且 ＤＥ ＥＢ＝ ＤＦ ＦＤ１ ＝ １２，点Ｇ在ＣＣ１上，且平面ＡＥＦ∥平面ＢＤ１Ｇ，则 ＣＧ ＣＣ１ ＝ （　　） （Ａ）１２ （Ｂ） １ ３ （Ｃ） ２ ３ （Ｄ） １ ４ ７．如图４，已知正三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１，ＡＣ＝ＡＡ１，Ｅ，Ｆ分别是棱ＢＣ，Ａ１Ｃ１上的点．记ＥＦ与ＡＡ１所成的角为 α，ＥＦ与平面ＡＢＣ所成的角为β，二面角Ｆ－ＢＣ－Ａ的平面角为γ，则 （　　） （Ａ）α≤β≤γ （Ｂ）β≤α≤γ （Ｃ）β≤γ≤α （Ｄ）α≤γ≤β ８．（２０２３福建三明质量检测）已知三棱锥Ｓ－ＡＢＣ的所有顶点都在表面积为６４π的球面上，且 ＳＡ⊥ 平面 ＡＢＣ，ＳＡ＝４，∠ＢＡＣ＝２π３，ＡＢ＝ 槡２３，Ｍ是边ＢＣ上一动点，则直线ＳＭ与平面ＡＢＣ所成的最大角的正切值为 （　　） （Ａ）３ （Ｂ） 槡４３３ （Ｃ）槡３ （Ｄ） ３ ２ 二、多项选择题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 ５分，有错选的得０分，部分选对的得３分．） ９．已知圆锥的顶点为Ｐ，底面圆心为Ｏ，ＡＢ为底面直径，∠ＡＰＢ＝１２０°，ＰＡ＝２，点Ｃ在底面圆周上，且二面角Ｐ－ＡＣ －Ｏ为４５°，则 （　　） （Ａ）该圆锥的体积为π （Ｂ）该圆锥的侧面积为 槡４３π （Ｃ）ＡＣ＝ 槡２２ （Ｄ）△ＰＡＣ的面积为槡３ １０．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，ＰＡ＝ＰＣ＝ＡＢ＝ＢＣ＝５，ＰＢ＝ＡＣ＝６，则下列说法正确的是 （　　） （Ａ）若Ｅ，Ｆ分别为ＰＢ，ＡＣ的中点，则ＥＦ＝槡６ （Ｂ）三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的体积为 槡６７ （Ｃ）三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的内切球的体积为槡７π２ （Ｄ）三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的外接球的表面积为４３π １１．如图５所示，在四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是边长为２的正方形，△ＣＤＥ是正三角形，Ｍ为线段ＤＥ的中点，点 Ｎ为底面ＡＢＣＤ内的动点，则下列结论正确的是 （　　） （Ａ）当ＢＣ⊥ＤＥ时，平面ＣＤＥ⊥平面ＡＢＣＤ （Ｂ）当ＢＣ⊥ＤＥ时，直线ＥＡ与平面ＡＢＣＤ所成角的正弦值为槡１０４ （Ｃ）当直线ＢＭ和ＥＮ异面时，点Ｎ不可能为底面ＡＢＣＤ的中心 （Ｄ）当平面ＣＤＥ⊥平面ＡＢＣＤ，且点Ｎ为底面ＡＢＣＤ的中心时，ＢＭ ＝ＥＮ １２．下列物体中，能够被整体放入棱长为１（单位：ｍ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有 （　　） （Ａ）直径为０９９ｍ的球体 （Ｂ）所有棱长均为１．４ｍ的四面体 （Ｃ）底面直径为００１ｍ，高为１８ｍ的圆柱体 （Ｄ）底面直径为１２ｍ，高为００１ｍ的圆柱体 三、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．把答案填在题中横线上） １３．（２０２３福建省福州市模拟）如图６，在棱长为１的正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｍ和Ｎ分别是Ａ１Ｂ１和ＢＢ１的中点， 那么直线ＡＭ与ＣＮ所成角的余弦值为 ． １４．（