课后提升练(3) 等差数列的定义（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(三)　等差数列的定义 [对应学生用书P84] 1．已知数列3，9，15，…，3(2n－1)，…，那么81是数列的(　　) A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项 C　解析：an＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14. 2．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 D　解析：由题意知，公差d＝4－2＝2，所以a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18.故选D． 3．等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 B　解析：a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0. 4．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列是(　　) A．公差为1的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为－的等差数列 D．不是等差数列 B　解析：由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝.所以数列{an}是公差为的等差数列． 5．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是(　　) A．(，3) B．[，3] C．(，3] D．[，3) C　解析：设an＝－24＋(n－1)d，由解得<d≤3. 6．数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________． 0　解析：因为{an}是等差数列，所以an＋1－an＝常数．所以[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数．所以2a＝0，所以a＝0. 7．若一个等差数列的前三项为a，2a－1，3－a，则这个数列的通项公式为________________． an＝＋1，n∈N*　解析：∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝.∴这个等差数列的前三项依次为，，，∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1，n∈N*. 8．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写________个大字． 4　解析：由题意可知此人每天所写大字数构成首项为4，第三项为12的等差数列，即a1＝4，a3＝12，所以d＝＝4. 9．在等差数列{an}中： (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. 解：(1)由题意知解得 (2)由题意知解得 ∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17. 10．已知数列是等差数列，a2＝14，a5＝5. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的最大项． 解：(1)设等差数列的公差为d， 所以＝＋(5－2)d⇒1＝7＋3d⇒d＝－2， 所以＝＋(n－2)(－2)⇒＝7－2n＋4＝11－2n⇒an＝－2n2＋11n. (2)由(1)可知，an＝－2n2＋11n＝－2(n－)2＋， 当n＝3时，an有最大项，最大项为－2×32＋11×3＝15. 11．(多选)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则(　　) A．a3a6>a4a5 B．a3a6<a4a5 C．a3＋a6＝a4＋a5 D．a3a6＝a4a5 BC　解析：由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝a＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝a＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2<0，故选BC． 12．已知f(n＋1)＝f(n)－(n∈N＋)，且f(2)＝2，则f(2 021)＝________． －　解析：由f(n＋1)＝f(n)－，得f(n＋1)－f(n)＝－(n∈N＋).∴{f(n)}是一个以－为公差的等差数列．∵f(2)＝2，∴f(2 021)＝f(2)＋(2 021－2)d＝2＋2 019×(－)＝－. 13．已知数列{an}满足：a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________． 　解析：根据已知条件a＝a＋4，即a－a＝4，∴数列{a}是公差为4的等差数列，则a＝a＋(n－1)×4＝4n－3.∵an>0，∴an＝. 14．数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________． 35　解析：∵{an}，{bn}均是等差数列，∴a1＋a5＝2a3，b1＋b5＝2b3，即a5＝2a3－a1，b5＝2b3－b1，∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2×21－7＝35. 15．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则数列是否为等差数列？说明理由． 解：数列是等差数列，理由如下： 因为a1＝2，a