课后提升练(2) 数列中的递推（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(二)　数列中的递推 [对应学生用书P82] 1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n(n∈N*) B．an＝an－1＋n(n≥2，n∈N*)，a1＝1 C．an＋1＝an＋(n－1)(n∈N*) D．an＝an－1＋(n－1)(n≥2，n∈N*)，a1＝1 B　解析：观察数列的前五项，发现相邻两项的后一项比前一项大后一项的序号数，故an＝an－1＋n(n≥2，n∈N*)，a1＝1. 2．已知数列{an}满足要求a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5＝(　　) A．15 B．16 C．31 D．32 C　解析：∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31. 3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于(　　) A． B． C． D． C　解析：由题意a1a2＝22，a1a2a3＝32，a1a2a3a4＝42，a1a2a3a4a5＝52，则a3＝＝，a5＝＝.故a3＋a5＝. 4．已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，则数列的通项公式为(　　) A．an＝3n＋1 B．an＝3n C．an＝3n－2 D．an＝3(n－1) C　解析：∵an＝an－1＋3，∴an－an－1＝3.∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，∴an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2，当n＝1时，a1＝1也符合此式．故选C． 5．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝，则a2 023＝(　　) A．－2 B．－ C． D．3 C　解析：∵a1＝－2，an＋1＝，∴a2＝－，a3＝，a4＝3，a5＝－2.∴该数列是周期数列，周期T＝4.又2 023＝505×4＋3，∴a2 023＝a3＝. 6．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a4＝________，通项公式an＝________． 7　　解析：a4＝S4－S3＝16＋1－9－1＝7. 当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－(n－1)2－1＝2n－1. a1＝2，不符合上式， ∴Sn＝ 7．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，得an＝________． 　解析：由条件知＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得(n－1)个等式，即···…·＝×××…×⇒＝.又∵a1＝，∴an＝. 8．根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律，猜测第n个图形中有________个点． n2－n＋1　解析：观察图中5个图形点的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1，故第n个图中点的个数为(n－1)n＋1＝n2－n＋1. 9．根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)； (2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)； (3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*). 解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.猜想an＝(n－1)2(n∈N*). (2)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想an＝(n∈N*). (3)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.猜想an＝2n－1＋1(n∈N*). 10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，n∈N*，求它的通项公式． 解：当n＝1时，a1＝S1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n＋1－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5， a1＝0不符合上式，所以an＝ 11．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝(　　) A．10 B．15 C．－5 D．20 D　解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20. 12．(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{an}，则(　　) A．a4＝12 B．an＋1＝an＋n＋1 C．a100＝5 050 D．2an＋1＝anan＋2 BC　解析：由题意知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，an＝an－1＋n，故an＝，∴a4＝＝10，故A错误；an＋1＝an＋n＋1，故B正确；a100＝＝5