课后提升练(1) 数列的概念（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(一)　数列的概念 [对应学生用书P79] 1．(2022·山东烟台高二期末)若数列的通项公式为an＝，则该数列的第5项为(　　) A． B． C． D． C　解析：∵a5＝＝，故选C． 2．(多选)有下列命题正确的是(　　) A．数列，，，，…的一个通项公式是an＝ B．数列的图象是一群孤立的点 C．数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列 D．数列，，…，是递减数列 BD　解析：由通项公式知a1＝≠，故A不正确；易知B正确；由于两数列中数的排列次序不同，因此不是同一数列，故C不正确；D中的数列为递减数列，所以D正确． 3．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 A　解析：an＝＝1－，∴当n越大，越小，则an越大，故该数列{an}是递增数列． 4．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0] C　解析：∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0. 5．(2022·山东聊城高二期末)数列，－，，－，…的通项公式可能是(　　) A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n＋1 C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n＋1 D　解析：将数列，－，，－，…变形为，－，，－，…，从而可知分子的规律为n，分母的规律为n＋2，再结合各项的正负，可知其通项为an＝(－1)n＋1.故选D． 6．已知数列{an}的通项公式an＝则a2a3＝________． 20　解析：相当于分段函数求值，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2·a3＝20. 7．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________． 9　解析：由an＝19－2n>0，得n<.∵n∈N*，∴n≤9.即使an＞0成立的最大正整数n的值为9. 8．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为________.(填写序号) ①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝；④an＝(－1)n. ①③　解析：可以通过画函数的图象一一判断．①对应的函数是一次函数，且一次项系数小于0，故为递减数列，②有增有减，④是摆动数列，③中的数列可以看成指数函数，也是递减数列． 9．根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． (1)，，，，…； (2)－3，7，－15，31，…； (3)2，6，2，6，…. 解：(1)前4项均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2， 所以an＝. (2)正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数(项数加1)次幂减1， 所以an＝(－1)n(2n＋1－1). (3)此数列为摆动数列，一般求两数的平均数＝4，而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示． 所以an＝4＋(－1)n·2或an＝ 10．已知函数f(x)＝，设an＝f(n)(n∈N*). (1)求证：an<1. (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ (1)证明：an＝f(n)＝＝1－. 又n∈N*，∴0＜≤1，∴an＜1. (2)解：数列{an}是递增数列．理由如下： ∵an＋1－an＝－＝(1－)－(1－)＝>0， ∴an＋1>an，∴{an}是递增数列． 11．一给定函数y＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意a0∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1＞an，则该函数的图象是(　　) A　解析：由an＋1＝f(an)，an＋1＞an，得f(an)＞an，即f(x)＞x，结合图象知A正确． 12．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列的第40项为(　　) A．648 B．722 C．800 D．882 C　解析：由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2，则此数列第40项为2×202＝800. 13．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为