课后提升练(17) 求导法则及其应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(十七)　求导法则及其应用 [对应学生用书P120] 1．函数y＝x ln (2x＋5)的导数为(　　) A．ln (2x＋5)－ B．ln (2x＋5)＋ C．2x ln (2x＋5) D． B　解析：y′＝[x ln (2x＋5)]′＝x′ln (2x＋5)＋x[ln (2x＋5)]′＝ln (2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln (2x＋5)＋. 2．(2022·山东日照月考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(2)＋ln x，则f′(2)等于(　　) A． B． C． D． D　解析：∵f(x)＝2x2－3xf′(2)＋ln x，∴f′(x)＝4x－3f′(2)＋，将x＝2代入，得f′(2)＝8－3f′(2)＋，得f′(2)＝. 3．设曲线f(x)＝ax－ln (x＋1)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D　解析：f(x)＝ax－ln (x＋1)，则f′(x)＝a－.令f′(0)＝2，解得a＝3. 4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　) A．) B．) C．( D．) D　解析：k＝y′＝＝∈[－1，0]，即0>tan α≥－1，又因为α∈[0，π)，所以≤α<π. 5．(多选)下列函数在x＝0处有切线的是(　　) A．f(x)＝3x2＋cos x B．g(x)＝x sin x C．h(x)＝＋2x D．w(x)＝ ABD　解析：f′(x)＝6x－sin x，f′(0)＝0，此时切线的斜率为0，故在点x＝0处有切线；g′(x)＝sin x＋x cos x，g′(0)＝0，此时切线的斜率为0，故在点x＝0处有切线；h′(x)＝－＋2，在x＝0处不可导，则在x＝0处没有切线；w′(x)＝，w′(0)＝0，此时切线的斜率为0，故在点x＝0处有切线． 6．已知函数f(x)＝＋，则f(x)在x＝2处的导数f′(2)＝________． 2　解析：∵f(x)＝＋＝(x≠1)，∴f′(x)＝，∴f′(2)＝2. 7．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积是________． 　解析：因为y′＝－2e－2x，所以当x＝0时，y′＝－2，切线方程为y＝－2x＋2.所以所围成的三角形的三个顶点为(0，0)，(1，0)，(，).所以S＝×1×＝. 8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a的值为________． 2　解析：设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，且y0＝ln (x0＋a)，所以x0＋1＝ln (x0＋a).① 对y＝ln (x＋a)求导得y′＝，则＝1，即x0＋a＝1.② ①②联立可得x0＝－1，a＝2. 9．求下列函数的导数： (1)y＝－ln x；(2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝；(4)y＝. 解：(1)y′＝(－ln x)′＝()′－(ln x)′＝－. (2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1. (3)y′＝＝. (4)y′＝＝. 10．已知a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，求切点的横坐标x0. 解：由题设易得f′(x)＝ex－ae－x，x∈R. ∵f′(x)为奇函数，∴f′(x)＋f′(－x)＝0对任意x∈R恒成立， 即(1－a)(ex＋e－x)＝0对任意x∈R恒成立，∴a＝1， ∴f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x， 设切点的横坐标为x0， 由题可得e－e－x0＝，令e＝t(t>0)，则t－＝，解得t＝2或t＝－(舍去)， ∴e＝2，∴x0＝ln 2. 11．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　) A．212 B．29 C．28 D．26 A　解析：因为f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212. 12．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ex2，则f′(x)＝________，其在点(0，1)处的切线方程为________． 2xex2　y＝1　解析：∵f(x)＝ex2，故