课后提升练(16) 基本初等函数的导数（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(十六)　基本初等函数的导数 [对应学生用书P118] 1．已知y＝，则y′＝(　　) A． B．－ C． D．0 D　解析：常数函数的导数为0. 2．若函数f(x)＝cos x，则f′()＋f()的值为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 A　解析：因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x，所以f′()＋f()＝－sin ＋cos ＝0. 3．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时，P点坐标为(　　) A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1) C．(2，8) D．(－，－) B　解析：y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1，1). 4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为(　　) A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 C　解析：因为y＝ln x的导数y′＝，所以令＝，得x＝2，所以切点为(2，ln 2).代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1. 5．曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　) A．e B．1 C．－1 D．－e B　解析：因为y′＝ex，所以当x＝0时，y′＝1，所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，令x＝0，得y＝1. 6．已知f(x)＝2x，则f′()＝________． eln 2　解析：因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2x ln 2，所以f′()＝f′(log2e)＝2log2eln 2＝eln 2. 7．若曲线y＝xα(α∈Q)在点(1，2)处的切线经过原点，则α＝________． 2　解析：y′＝αxα－1，所以当x＝1时，y′＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2，该直线过原点(0，0)，所以α＝2. 8．已知[cf(x)]′＝cf′(x)，其中c为常数．若f(x)＝ln 5log5x，则曲线f(x)在点A(1，0)处的切线方程为________． x－y－1＝0　解析：由已知得f′(x)＝ln 5·＝，将x＝1代入，得f′(1)＝1，在点A处的切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0. 9．已知f(x)＝x ln (x－1)，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程． 解：f′(x)＝ln (x－1)＋，当x＝2时，f(2)＝0，即切点为(2，0)，f′(2)＝ln 1＋2＝2，则切线方程为y－0＝2(x－2)，即y＝2x－4. 10．已知曲线方程为y＝x2，求过点A(3，5)且与曲线相切的直线方程． 解：设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x， ∴y′|＝2x0.即kPA＝2x0， ∵A(3，5)不在曲线y＝x2上，∴x0≠3，得＝2x0. 又y0＝x，代入上式整理， 得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或x0＝5， ∴切点坐标为(1，1)，(5，25). ∴所求直线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 11．(2022·湖南郴州高二期末)若函数f(x)的导函数为偶函数，则f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝cos x C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex C　解析：对A，f′(x)＝2x，为奇函数；对B，f′(x)＝－sin x，为奇函数；对C，f′(x)＝cos x，为偶函数；对D，f′(x)＝ex，既不是奇函数也不是偶函数．故选C． 12．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________． eln 3　解析：设切点为(m，3m)，y＝3x的导数为y′＝3x ln 3，由题意可得k＝3m ln 3，且km＝3m，解得m＝log3e，k＝eln 3. 13．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________． 21　解析：函数y＝x2(x>0)在点(a1，a)处(a1＝16)，即点(16，256)处的切线方程为y－256＝32(x－16).令y＝0，得a2＝8；同理函数y＝x2(x>0)在点(a2，a)处(a2＝8)，即点(8，64)处的切线方程为y－64＝16(x－8).令y＝0，得a3＝4，同理依次求得a4＝2，a5＝1，所以a1＋a3＋a5＝21. 14．已知函数f(x)＝，g(x)＝a ln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程． 解：设两曲线的交点为(x0，y0)， f′(x)＝，g′(x)＝，x>0， 由已知得解得 所以两条曲线的交点坐标为(e2，e)， 切线的斜率k＝f′(e2)＝， 所以切线方程为y－e＝(x－e2)