课后提升练(15) 导数及其几何意义（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(十五)　导数及其几何意义 [对应学生用书P116] 1．(多选)已知函数y＝f(x)的自变量x0处的改变量Δx，函数值的改变量为Δy，f(x)在x0处的导数值f′(x0)，则下列等式中正确的是(　　) A．f′(x0)＝ B．f′(x0)＝ C．f′(x0)＝[f(x0＋Δx)f(x0)] D．f′(x0)＝ ABD　解析：根据导数的定义可知，A正确；对于B，若令x＝x0＋Δx，当x→x0，即Δx→0，则 ＝ ＝f′(x0)，B正确；根据导数的定义f′(x0)＝ ，C错误；根据导数的定义可知，D正确． 2．如果过函数y＝f(x)图象上点A(3，a)的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则f′(3)＝(　　) A．2 B．－ C．－2 D． C　解析：因为过点A(3，a)的切线与2x＋y＋1＝0平行，所以过A点的切线斜率f′(3)＝－2. 3．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则t＝2秒时，此木块在水平方向的瞬时速度为(　　) A． B． C．1 D．2 B　解析：s′(t)＝ ＝ (Δt＋)＝，故选B． 4．已知直线l经过(－1，0)，(0，1)两点，且与曲线y＝f(x)切于点A(2，3)，则 的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 C　解析：∵直线l经过(－1，0)，(0，1)两点，∴直线l方程为y＝x＋1.直线l与曲线y＝f(x)切于点A(2，3)，可得曲线在x＝2处的导数为f′(2)＝1，所以f′(2)＝ ＝1. 5．(多选)下列关于导数f′(3)的意义与表示正确的是(　　) A．f′(3)＝ B．f′(3)＝ C．f′(3)＝ D．f′(3)＝ AD　解析：f′(3)表示函数f(x)在x＝3处的瞬时变化率，即f′(3)＝ ，令x＝3＋Δx，得Δx＝x－3，由Δx→0，得x→3，于是f′(3)＝ ＝ . 6．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为f′(a)________f′(b).(填“＜”“＝”或“＞”) >　解析：f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，由图象可得f′(a)＞f′(b). 7．已知函数y＝f(x)，若f′(x0)>0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的范围是________． (0，)　解析：由于f′(x0)>0，说明y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率大于0，故倾斜角为锐角． 8．函数f(x)＝在x＝x0(x0≠0)处的导数为________，在点________处的导数为. 　(1，1)　解析：Δf＝－，＝＝， ＝，所以f′(x0)＝ .令＝，得x0＝1，此时y0＝＝1，即函数f(x)＝在点(1，1)处的导数为. 9．服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间t(单位：min)的函数y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.6，试解释它们的实际意义． 解：f′(10)＝1.5表示在服药后第10 min时，血液中药物的质量浓度大约以1.5 μg/(mL·min)的速度上升． f′(100)＝－0.6表示服药后第100 min时，血液中药物的质量浓度大约以0.6 μg/(mL·min)的速度下降． 10．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx＋c通过点P(1，1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值． 解：∵曲线f(x)＝ax2＋bx＋c过点P(1，1)，Q(2，－1) ∴a＋b＋c＝1，① 4a＋2b＋c＝－1，② ∵f′(x)＝ ＝ ＝ ＝ (2ax＋b＋aΔx)＝2ax＋b， ∴f′(2)＝4a＋b，∴4a＋b＝1.③ 联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9. 11．已知曲线f(x)＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　) A．(1，1) B．(－1，1) C．(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8) C　解析：因为f(x)＝x3，所以 ＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意知，切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1). 12．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．a<f′(2)<f′(4) B．f′(2)<a<f′(4) C．f′(4)<f′(2)<a D．f′(2)<f′(4)<a B　解析：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所以(2，f(