6.1.2 第2课时 导数的几何意义(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦导数的几何意义，系统讲解切线斜率的含义、曲线切线方程的求法及利用导数求近似值。通过赛跑弯道等现实情境导入，衔接平均变化率与割线斜率的关系，构建从具体到抽象的知识支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（情境导入激发兴趣）、数学思维辨析概念（即时练区分“在某点”与“过某点”切线）、数学语言表达规律（点斜式规范写方程）。通过例题对比两种切线类型，结合跟踪训练强化推理，助力学生深化理解，也为教师提供清晰的教学实施路径。

6．1.2　导数及其几何意义 第2课时　导数的几何意义 1.理解导数的几何意义，会求导数．　2.会求曲线的切线方程．　3.会求近似值． 学 习 目 标 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 　　在赛跑、赛车和滑冰运动中，我们常听到“弯道超越”这样的词语，教练通过回放录像分析运动员弯道时的运动方向，这需要求运动曲线在任意一点的切线，那么怎样求曲线的切线？这节课我们就来研究求曲线在某点处的切线问题． 新知学习 探究 返回导航 提示：相等． 新知学习 探究 返回导航 一　导数的几何意义 1．曲线的切线 一般地，如图所示，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S 上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点，则称直线PP0为曲 线S的割线，如果P无限接近于P0时，割线PP0无限接近于通 过P0的一条直线l，则称________为曲线S在点P0处的切线． 2．导数的几何意义 f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的____________，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是________________________. 直线l 切线的斜率 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率．(　　) (2)直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点．(　　) (3)过曲线上的一点作曲线的切线，该点一定是切点．(　　) (4)f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线可能存在．(　　) × √ × √ 新知学习 探究 返回导航 2．函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)  A．f′(1)<f′(2)<f(2)－f(1)<0 B．f′(2)<f(2)－f(1)<f′(1)<0 C．f′(1)<f(2)－f(1)<f′(2)<0 D．f(2)－f(1)<f′(1)<f′(2)<0 √ 新知学习 探究 返回导航 3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，方程为y＝－x＋4，则f′(2)＝________．   解析：因为在点P(2，y)处的切线y＝－x＋4的斜率为－1，所以f′(2)＝－1. －1 新知学习 探究 返回导航 　　导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 新知学习 探究 返回导航 二　曲线的切线方程 角度1　曲线在某点处的切线 　　　(对接教材例4、例5)求曲线f(x)＝x2－x＋3在点(1，3)处的切线方程． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)过点(－1，0)且与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程是________________________． x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0 新知学习 探究 返回导航 当x0＝0时，切线斜率k＝1，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0； 当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0. 故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. 新知学习 探究 返回导航 三　求近似值 　　　已知f(x)＝x2＋1，若f(1)＝2，f′(1)＝2，Δx＝0.04，则f(1.04)的近似值为________． 【解析】　设x＝x0＋Δx，Δx＝x－x0， 则有f(x)≈f(x0)＋f′(x0)(x－x0)， 所以f(1.04)≈f(1)＋0.04f′(1)＝2＋0.04×2＝2.08. 2.08 新知学习 探究 返回导航 　　求函数近似值或方程近似解可以从函数导数的实际意义角度考虑，即f′(x)的实际意义：当自变量在x＝x0处的改变量Δx很小时，因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)Δx. 新知学习 探究 返回导航 9 9.18 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 24 √ 1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝(　　) A．4 B．－4 C．－2 D．2 解析：由导数的几何意义知f′(1)＝2.故选D． 课堂巩固 自测 返回导航 2．(多选)已知函数f(x)满足f(1)＝3，f′(1)＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是(　　) A．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率大于0 B．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0 C．f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方 D．f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方 解析：因为f′(1)＝－3<0，则f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；因为f(1)＝3>0，所以f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方．故选BC． √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．(教材P75T5改编)已知f(x)＝2x2－3，若f(2)＝5，f′(2)＝4，Δx＝0.02，则f(2.02)的近似值为________． 解析：设x＝x0＋Δx，Δx＝x－x0，则有f(x)≈f(x0)＋f′(x0)·(x－x0)，所以f(2.02)≈f(2)＋0.02f′(2)＝5＋0.02×4＝5.08. 5.08 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：导数的几何意义、曲线的切线方程的求法以及利用导数求近似值． 2．须贯通：(1)导数的几何意义就是切线的斜率，其斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况； (2)求曲线的切线方程时，利用导数的几何意义，先求出切线的斜率，再利用点斜式写出切线方程． 3．应注意：“在”某点处与“过”某点的切线的区别；切线过某点，该点不一定是切点；切点既在切线上，又在原函数图象上． 课堂巩固 自测 返回导航 $