课后提升练(13) 数学归纳法（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(十三)　数学归纳法 [对应学生用书P103] 1．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是(　　) A．2k＋1 B．2k＋2 C．(2k＋1)＋(2k＋2) D．(k＋1)＋(k＋2)＋…＋2k C　解析：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2). 2．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋(　　) A． B．π C． D．2π B　解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 3．设Sk＝＋＋＋…＋(k＝1，2，3，…)，则Sk＋1＝(　　) A．Sk＋ B．Sk＋＋ C．Sk＋－ D．Sk＋－ C　解析：因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，①得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.② 由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－＝－，故Sk＋1＝Sk＋－. 4．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C． D． B　解析：当n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)·…·[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋2)·…·(k＋k)·(2k＋1)·2(k＋1)，∴应增乘2(2k＋1). 5．用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边(　　) A．增加了一项 B．增加了两项， C．增加了两项，，又减少了一项 D．增加了一项，又减少了一项 C　解析：当n＝k时，左边为＋＋…＋，①当n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋，②比较①②可知C正确． 6．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1时，等式左边需要添加的项是________． 2k＋2　解析：当n＝k时，左端为(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左端为(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，由k到k＋1需添加的因式为(2k＋2). 7．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜想得出an的表达式为________． an＝　解析：a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝. 8．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*). 证明：①当n＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·. 则当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k(k＋1)· ＝(－1)k·. 即当n＝k＋1时，等式也成立， 根据①②可知，对于任何n∈N*等式成立． 9．已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分． 证明：①当n＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f(1)＝1×(1－1)＋2＝2，所以命题正确． ②假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为f(k)＝k(k－1)＋2， 当n＝k＋1时，第k＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分， 故f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2＋2k＝k(k－1＋2)＋2＝(k＋1)[(k＋1)－1]＋2， 即当n＝k＋1时，命题也成立． 根据①②知，n个符合条件的平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分． 10．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)，求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测数列{an}，{bn}的通项公式，证明你的结论． 解：由题意得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，且a1＝2，b1＝4， 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N*. 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，由a1＝2，b1＝4可得结论成立． ②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，结论成立， 即ak＝k(k＋1)，b