课后提升练(11) 数列求和（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(十一)　数列求和 [对应学生用书P99] 1．数列{an}的通项公式为an＝，若该数列的前k项之和等于9，则k＝(　　) A．80 B．81 C．79 D．82 B　解析：an＝＝－，故Sn＝，令Sk＝＝9，解得k＝81，故选B． 2．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　) A．1 121 B．1 122 C．1 123 D．1 124 C　解析：由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1 123.选C． 3．已知函数f(n)＝n2cos (nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(　　) A．0 B．－100 C．100 D．10 200 B　解析：∵f(n)＝n2cos (nπ)＝＝(－1)n·n2，由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100. 4．已知数列：1，2，3，…，(n＋)，…，则其前n项和关于n的表达式为________． －＋1　解析：设所求的前n项和为Sn，则 Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(＋＋…＋)＝＋＝－＋1. 5．等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则 ＝________． 　解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意得解得所以Sn＝，＝＝2(－)，因此 ＝2＝. 6．各项均为整数的等差数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{(－1)n·an}的前2n项和T2n. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比数列，所以a＝a2·(S4＋1)， 即(－1＋2d)2＝(－1＋d)(－3＋6d)，解得d＝2或d＝(舍去)， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－3. (2)由(1)可知an－an－1＝2(n≥2)， 所以T2n＝(－a1＋a2)＋(－a3＋a4)＋…＋(－a2n－1＋a2n)＝2n. 7．等差数列{an}的首项a1＞0，数列的前n项和为Sn＝. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由的前n项和为Sn＝知可得 设等差数列{an}的公差为d， 从而 解得或又a1>0，则 故an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)知bn＝(an＋1)·2an＝2n·22n－1＝n·4n， 则Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n， 两边同时乘以4得4Tn＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1， 两式相减得－3Tn＝41＋42＋43＋44＋…＋4n－n×4n＋1＝－n×4n＋1， 故Tn＝＋·4n＋1. 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an(n∈N*). (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn. (1)证明：∵a1＝，an＋1＝an， 当n∈N*时，≠0，又∵＝，∶＝(n∈N*)为常数， ∴是以为首项，为公比的等比数列． (2)解：由是以为首项，为公比的等比数列， 得＝·()n－1，∴an＝n·()n. ∴Sn＝1·＋2·()2＋3·()3＋…＋n·()n， Sn＝1·()2＋2·()3＋…＋(n－1)()n＋n·()n＋1， ∴两式相减得 Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n·()n＋1＝－n·()n＋1＝1－()n－n·()n＋1， ∴Sn＝2－()n－1－n·()n＝2－(n＋2)·()n. 综上，an＝n·()n，Sn＝2－(n＋2)·()n. 9．(2022·山西运城模拟)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝tan an·tan an＋1，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)∵a1＝1，{an}为等差数列，设公差为d，又因为a1，a3，a9成等比数列， ∴(a3)2＝a1·a9，即(1＋2d)2＝1＋8d， 解得d＝1或d＝0(舍去)， 故{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n. (2)bn＝tan n·tan (n＋1)＝－1， ∴Sn＝[tan 2－tan 1＋tan